К идеальному источнику с напряжением U0 подключают цепь, состоящую из одинаковых резисторов с сопротивлением R=1 кОм, сгруппированных в звенья. В каждом последующем звене в 2 раза больше резисторов, чем в предыдущем. Звеньев бесконечно много. Сила тока в резисторе, отмеченном серым цветом, равна I4=3 мА.
Определите силу тока в источнике (I1). Ответ выразите в миллиамперах.
Определите падение напряжения U4 на отмеченном цветом резисторе. Ответ выразите в вольтах.
Определите тепловую мощность P3, выделяющуюся на резисторе, отмеченном знаком *. Ответ выразите в милливаттах.
Выделенный резистор заменяют идеальным амперметром. Как изменится общее сопротивление цепи?
Увеличится
Не изменится
Уменьшится
Определите напряжение источника U0. Ответ выразите в вольтах. Учтите, что сумма ряда
1 Ответ
Для решения задачи воспользуемся законом Ома, а также законом сохранения заряда и законом сохранения энергии.
Пусть сила тока в источнике равна I1, а напряжение на источнике – U0.
Так как в каждом последующем звене в 2 раза больше резисторов, чем в предыдущем, то в звене с номером n будет 2^n резисторов с сопротивлением R=1 кОм.
Тогда общее сопротивление звена с номером n будет равно R_n = 1 кОм * 2^n.
Сила тока в звене с номером n находим, применяя закон Ома: I_n = U_n / R_n, где U_n – напряжение на звене с номером n.
Найдем сначала силу тока в звене с номером 4, используя данные из условия: I_4 = 3 мА.
I_4 = U_4 / R_4
3 мА = U_4 / (1 кОм * 2^4)
U_4 = 3 мА * 1 кОм * 2^4 = 48 В
Заметим, что в каждом звене находится столько же резисторов, сколько и в предыдущих звеньях. То есть, в звене с номером N число резисторов будет равно 2^N, и ток, протекающий через этот звено, будет равен I_N = I_(N-1)/2.
Найдем сначала силу тока в звене с номером 1:
I_1 = I_2 / 2 = I_3 / 4 = I_4 / 8 = 3 мА / 8 = 0,375 мА
Теперь найдем напряжение на источнике:
U_0 = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + …
U_0 = I_1 * R_1 + I_2 * R_2 + I_3 * R_3 + I_4 * R_4 + …
U_0 = 0,375 мА * 1 кОм + (0,375 мА / 2) * 2 кОм + (0,375 мА / 4) * 4 кОм + 3 мА * 8 кОм + …
U_0 = 6,75 В + 3,75 В + 2,8125 В + 24 В + …
U_0 = 6,75 В + 3,75 В + 2,8125 В + 24 В + 24 В + 24 В + …
U_0 = 84,3125 В
Ответ: сила тока в источнике I1 = 0,375 мА; падение напряжения на резисторе U4 = 48 В; тепловая мощность, выделяющаяся на резисторе *, равна P3 = I_3^2 * R_3 = (0,375 мА / 4)^2 * 4 кОм = 0,0234375 мВт; если выделенный резистор заменить идеальным амперметром, то общее сопротивление цепи уменьшится; напряжение на источнике U0 = 84,3125 В.
Для более подробного объяснения ответа на вопрос о том, как изменится общее сопротивление цепи, если выделенный резистор заменить идеальным амперметром, рассмотрим следующее.
Идеальный амперметр, как известно, обладает нулевым внутренним сопротивлением, то есть, по определению, при подключении к цепи не изменяет ток в ней. При этом сопротивление заданного резистора (R = 1 кОм) не изменится.
Таким образом, если выделенный резистор заменить на идеальный амперметр, то общее сопротивление цепи уменьшится, так как из цепи будет исключен резистор с сопротивлением 1 кОм, а идеальный амперметр с нулевым сопротивлением не добавит нового сопротивления в цепь.
Ответ: общее сопротивление цепи уменьшится.