Пусть a = 1, b, c и d — самые маленькие делители числа n Как найти все n, для которых n = ab + ac + ad + bc + bd + cd?

Решение.
Пусть не умаляя общности b < c < d Заметим, что n четно, поскольку иначе все шесть
слагаемых слева нечетны, а значит их сумма четна, чего быть не может. Значит, b = 2 Теперь c и d не могут оба быть нечетными, поскольку тогда четное число n равно сумме трех четных и трех нечетных слагаемых. Осталось разобрать варианты, когда одно из них равно 4 и когда d = 2c, где c — нечетное простое.
В первом случае обозначим оставшийся делитель за x и получим
n = 2 + 4 + 8 + x(1 + 2 + 4) = 14 + 7x.
14 = 7x = n делится на x, а значит и 14 делится на x. Так как двойку мы уже учли, x = 7, но тогда n = 63 — нечетно.
Остался второй случай. В нем
n = 2 + c+ 2c+ 2c+ 4c+ 22 = 2 + 9c+ 2c2,
то есть и n и n− 2 делятся на нечетное простое c — противоречие.
Получается, что таких n не существует.