На доске написано 27 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых не превосходит 22. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 21. С этими числами произвели следующие действия: четные числа разделили на 2, а нечетные умножили на 2. Пусть А – среднее арифметическое оставшихся после этого чисел. А) Могло ли оказаться так, что А = 10? Б) Могло ли оказаться так, что А = 12? В) Найдите наименьшее возможное значение А?
1 Ответ
Решение.
а) Сумма этих чисел равна 21 · 27 = 567. Спрашивается, может ли она стать равной 27 · 10 = 270. Пусть сумма четных составляла 2X, а сумма нечетных Y. Тогда 
и 
Решая эту систему, находим X = 288 и Y = –9, что невозможно.
б) Составляя систему и 
получим, что X = 270 и Y = 27. Значит, нечетное число не могло быть одно (27 > 22), и их не могло быть два (тогда их сумма Y была бы четна). Таким образом, нечетных чисел было минимум 3, а четных не более 24, поэтому их сумма составляла не более 
— противоречие.
в) Составляя систему и 
получим, что 
и 
Тогда 
откуда 
При этом число 9A должно быть целым, иначе X получится нецелым, а потому минимальное подходящее A равно 
откуда Y = 1, X = 283 и 2X = 566. Такая ситуация возможна, например, если взять число 1, три числа по 20 и 23 числа по 22.
Ответ: а) нет; б) нет; в) 