Тонкий обруч радиусом 14,1 см катится без проскальзывания с постоянной скоростью по горизонтальной поверхности.
Ответы на следующие вопросы дайте в сантиметрах, округлите до целых.
Чему равен радиус кривизны траектории такой точки A обруча, что в данный момент вектор OA−→ лежит в горизонтальной плоскости (см. рисунок)?
Найдите радиус кривизны траектории точки B обруча, для которой в рассматриваемый момент времени вектор OB−→ составляет угол φ=π/6 с горизонталью.
1 Ответ
Решение:
Из рисунка видно, что вектор OA = 0 по отношению к горизонтальной плоскости, следовательно,
точка A лежит на кривой. Пусть OA−→ — точка на обруче, описывающая в данный момент времени траекторию. Пусть A — место начала обруча в этот момент; OB — его центр, а OA, OB−1 — векторы, направленные от центра к началу и концу обруча соответственно. То есть вектор AOВ−→ равен вектору OA−1.
Так как при движении обруча вектор OA–→ не меняет своего направления, то вектор OB–→ тоже не меняет направления и перпендикулярен вектору OA–→. Поэтому вектор OA→, как и вектор OB→, направлен горизонтально. Продифференцировав уравнение , получаем уравнение окружности, касательная к которой проходит через точку В. Следовательно, радиус кривизны окружности равен радиусу данной кривой.