Каждая из диагоналей вписанного четырёхугольника АВСД является биссектрисой одного из углов, из которого она проведена, а также делит второй угол в отношении 1:2. Чему может равняться угол ∠A этого четырёхугольника? Ответ выразите в градусах.
Укажите все возможные варианты.
Если необходимо, ответ округлите до сотых или запишите в виде обыкновенной дроби.
1 Ответ
АС, это биссектриса ∠А, значит ∠1 = ∠2.
Равные вписанные углы опираются на равные хорды, соответственно, CD = BC.
DB, это биссектриса ∠D, то есть ∠3 = ∠4.
Равные вписанные углы опираются на равные хорды, значит AB = BC.
Треугольник ABC — равнобедренный, поскольку
AB = BC, отсюда ∠1 = ∠6
По условию задачи ∠5 = 2 •∠6 или ∠5 = 2 •∠1
Сумма противоположных углов = 180˚.
А значит,
∠A + ∠C = 180˚
или (∠1 +∠2) + (∠5 +∠6) = 180˚
(∠1 +∠1) + (2 •∠1 +∠1) = 180˚
5 •∠1 = 180˚
∠1 = 180˚/5 = 36˚
∠A = 2 • 36˚ = 72˚
Углы 1 и 4 равны, поскольку опираются на одну хорду BC.
Соответственно,
угол A = углу D = 72˚ и таким образом
угол B = углу C = 180˚ —72˚ = 108˚
В таком случае, ∠A = 108˚
Ответ: угол А равен либо 72°, либо 108°.