Витя написал на доске несколько (не меньше двух) различных натуральных чисел, каждое из которых делится нацело на 3 и оканчивается на 2.
а) Может ли их среднее арифметическое делиться нацело на 11?
б) Может ли их сумма равняться 350?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть выписано на доску, если их среднее арифметическое является наименьшим возможным для данного количества чисел, но при этом превышает 1000
1 Ответ
Решение:
а) Да, может. Например, тройка чисел 72, 132, 192. Все они делятся нацело на 3 и
оканчиваются на 2. Их среднее арифметическое 72 + 132 + 192/3= 132; 132 ⋮ 11.
б) Так как все числа делятся на 3, то и их сумма должна делиться на 3, но 350 на 3 не делится,
а значит такого быть не может.
в) Если их среднее арифметическое является наименьшим возможном, то числа должны
отличаться друг от друга минимально, а значит мы должны взять последовательность из подряд
идущих чисел, удовлетворяющих условиям «делится на 3» и «оканчивается на 2». Эта
последовательность: 12, 42, 72, 102 … Данная последовательность является арифметической с
первым членом ?1 = 12 и арифметической разностью ? = 30.
Найдем сумму арифметической прогрессии ?? =?1+??/2∙ ?, тогда среднее арифметическое есть
?? =??/?=?1+??/2
учитывая, что ?? = ?1 + ?(? − 1), то есть в нашем случае ?? = 12 + 30(? − 1),
получим ?? =24+30(?−1)/2=24+30?−30/2=30?−6/2= 15? − 3.
По условию среднее арифметическое превышает 1000, поэтому получим неравенство
15? − 3 > 1000 ⇔ 15? > 1003 ⇔ ? >1003/15⇔ ? > 66 13/15
Тогда минимально возможное n = 67.
Ответ: а) да, например 72, 132 и 192; б) нет; в) 67