1 Ответ
1. Купля-продажа
Петя хочет перепродать Васе игровую приставку, но Вася готов купить её у Пети только со скидкой 20% от назначенной Петей цены. Петя подумал о том, что даже в этом случае он получит от перепродажи 20% прибыли относительно закупочной цены, и согласился на сделку. На сколько процентов дороже закупочной цены Петя хотел продать Васе приставку изначально?
Ответ: 50
2. Вписанный четырёхугольник
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O, причём точка O лежит внутри четырёхугольника. Оказалось, что угол DAB равен 108°, угол BOC равен 90°.
Ответ: 27
3. Раскраска полосы
Некоторые клетки (хотя бы одну) клетчатого поля размером 3×8 клеток закрасили в красный цвет. Получилось так, что у каждой красной клетки ровно две соседние по стороне клетки тоже красные.
Какое минимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 4
Какое максимальное количество клеток могло быть окрашено в красный цвет?
Ответ: 18
4. Разбиение четырёхугольника
Диагонали разбили выпуклый четырёхугольник на четыре треугольника, площади трёх из которых равны 6 см², 8 см² и 12 см². Найдите площадь четвёртого треугольника.
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Ответ: 3
Найдите сумму всех возможных значений площади четвёртого треугольника.
Ответ: 29
5. Разность квадратов
Число 21609 представили в виде разности квадратов двух натуральных чисел x и y: 21609 = x² − y².
Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: 7
Чему равно наибольшее возможное значение x?
Ответ: 10805
Чему равно наименьшее возможное значение y?
Ответ: 140
6. В одном очень дружном классе принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришло 16 учеников дружного класса, и суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками. Сколько мальчиков пришло в этот день в школу?
Сколько вариантов ответа есть в этой задаче?
Ответ:
Мальчиков могло быть 10 или 6.
Количество вариантов ответа: 2.
Сколько мальчиков пришло в этот день в школу? Если у Вас получилось несколько вариантов ответа, то запишите ответ, указывая их подряд в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 610
7. Физики и математики
Сергей Александрович ведёт занятия в двух школьных кружках: «Олимпиадная математика» и «Олимпиадная физика». Каждый из 20 учеников его класса занимается хотя бы в одном из двух этих кружков. Математику посещает 12 учеников, а физику – только 10. Для участия в командном школьном турнире по математике нужно выбрать каких-то трёх учеников, занимающихся в кружке «Олимпиадная математика», а для участия в турнире по физике – троих участников кружка «Олимпиадная физика». Так как турниры проходят в один день и в одно время, то одних и тех же ребят привлечь к обоим состязаниям нельзя.
Сколькими способами можно собрать только команду на турнир по физике?
Сколькими способами можно собрать две команды (одна команда физиков и одна команда математиков) для двух этих турниров?
Ответ: 22520
8. Площадь трапеции
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 57,75
2. Многочлен
Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈.
Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
Ответ: 256
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 0
9. Натуральные делители
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 180
10. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ: 3
Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Ответ: 0.5
11. Трафик
В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Ответ: 30
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 11
12. 7. Фонари на шоссе
Каждый уличный фонарь освещает на поверхности земли всё вокруг в радиусе 25 метров. Эти фонари ставят на обочины участка прямоугольного шоссе шириной 20 метров и длиной 2030 метров так, чтобы весь участок шоссе был освещён. Какое количество фонарей нужно поставить? В ответ запишите наименьший из возможных вариантов ответа.
Ответ: 52
13. Площадь трапеции
В трапеции MNPT с основаниями NP и MT известно, что MN = NP и 2MN = MT. Диагональ MP равна 11, а боковая сторона PT равна 7. Найдите площадь трапеции.
Ответ: 57,75
14. Многочлен
Многочлен P(x) = (x² − 5x + 4)⁴ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x⁸ + a₁x⁷ + ⋯ + a₈.
Найдите свободный коэффициент a₈ этого многочлена.
Ответ: 256
Найдите сумму a₀ + a₁ + ⋯ + a₈ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 0
15. Натуральные делители
Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно 18 различных натуральных делителей. Чему равно это число?
Ответ: 180
16. Пенальти
Футболист бьёт четыре пенальти подряд. Каждый удар он забивает с вероятностью 0,5 независимо от остальных, но есть одна особенность: если удар не забит, то футболист собирается – и следующий удар забивает обязательно.
Сколько благоприятных исходов для события «в условиях задачи из четырёх ударов будет забито ровно два»? В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Ответ: 3
Какова вероятность того, что из четырёх ударов будет забито ровно два? В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до трёх знаков после запятой. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,145
Ответ: 0.5
17. Трафик
В стране 20 городов, некоторые из них соединены двусторонними дорогами, причём из каждого города выходит ровно 3 дороги. Из любого города можно добраться в любой другой (возможно, с пересадками).
Сколько всего дорог в этой стране?
Ответ: 30
Сколько дорог нужно закрыть, чтобы из любого города по-прежнему можно было добраться до любого другого, но ровно одним способом (то есть без повторного посещения городов маршрут был бы единственным)?
Ответ: 11
18. Лестница на чердак состоит из 10 ступенек. Петя поднимается по ней, за один шаг либо наступая на следующую ступеньку, либо перепрыгивая ровно через одну (то есть поднимаясь на 1 или на 2 ступеньки). Сколькими различными способами Петя может подняться с подножия лестницы на самую верхнюю ступеньку?
Ответ: 89
19. Коэффициенты многочлена
Многочлен P(x) = (2x² − x − 1)⁸ преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a₀x¹⁶ + a₁x¹⁵ + ⋯ + a₁₆.
Найдите сумму a₀ + a₁ + … + a₁₆ всех коэффициентов многочлена.
Ответ: 0
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a₀ + a₂ + … + a₁₆.
Ответ: 128
20. Разбиение треугольника
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A′, B′ и C′ так, что отрезки AA′, BB′ и CC′ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB′ и AMC′ равны 5, а площадь треугольника BMC′ равна 10.
Найдите площадь треугольника MCB′.
Ответ: 10
Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 60
21. Колебания
В качестве ответа вводите число. Если ответом является бесконечная десятичная дробь, округлите её до сотых. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
Найдите наибольшее значение функции f(x).
Ответ: 0,25
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 0,25
22. Очень дружный класс
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Ответ: 8
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
Ответ: 610
23. Минимальное расстояние
В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Ответ: 48
24. Последовательность
В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Последовательность {aₙ} задана условиями a₁ = 1/4, aₙ₊₁ = aₙ / (1 + 3aₙ), где n = 1, 2, 3, …. Известно, что a₂₀₂₆ = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
Чему равно N?
Ответ: 6079
Начиная с какого номера n выполняется неравенство aₙ < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Ответ: 334