1 Ответ
Описание плана: по горизонтальному шоссе слева направо расположены точки 4, 3, 2, 1. От точки 4 вертикально вниз идёт другое шоссе; на нём сверху вниз расположены точки 5, 6, 7. Просёлочные дороги соединяют точки 1–7 (мимо реки), 1–6 (мимо пруда), 2–5 и 3–6 (мимо конюшни). Обозначения на плане: шоссе, просёлочная дорога, мост, река, пруд, конюшня.
По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломина равно 12 км, от Доломина до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютина — 12 км, от Горюнова до Ванютина — 15 км, от Ванютина до Жилина — 9 км, а от Жилина до Богданова — 12 км.
Задания 1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены деревни. Заполните таблицу, в ответе запишите последовательность четырёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
ДЕРЕВНИ — ЦИФРЫ
Ванютино —
Горюново —
Егорка —
Жилино —
Решение:
Ванютино — точка 1 (на шоссе, конец справа)
Горюново — точка 2
Егорка — точка 3
Жилино — точка 4
Проверка: 1–6 мимо пруда, 2–5, 3–6 мимо конюшни — сходится.
Ответ: 1234
Задания 2. Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.
Решение:
Антоновка → Доломино = 12 км
Доломино → Егорка = 4 км
По шоссе: 12 + 4 = 16 км.
Ответ: 16
Задания 3. Найдите расстояние от Егорки до Жилина по прямой. Ответ дайте в километрах.
ответ = 3 км
Задания 4. Сколько минут затратят Таня с дедушкой на дорогу из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново?
Решение:
Шоссе: 12+4+3+9+12 = 40 км (50 км/ч)
Просёлок: 15 км (30 км/ч)
Время: 40/50 + 15/30 = 0,8 + 0,5 = 1,3 ч = 78 мин.
Ответ: 78
Задания 5. На шоссе машина дедушки расходует 6,8 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Антоновки до Богданова через Ванютино и на путь через Доломино и Горюново мимо конюшни ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на просёлочных дорогах?
ответ =
Задания 6. Найдите значение выражения: 1,4 / (1 + 1/13).
Решение:
1,4 / (1 + 1/13) = 1,4 / (14/13) = 1,4 · 13/14 = 0,1 · 13 = 1,3.
Ответ: 1,3
Задания 7. Одно из чисел √28, √33, √38, √47 отмечено на прямой точкой A.
Описание рисунка: на прямой отмечены числа 5, 6 и 7; точка A расположена между 5 и 6, ближе к 6.
Какое это число?
√28
√33 +
√38
√47
Задания 8. Найдите значение выражения: (2² · 2⁴)⁷ / (2 · 2⁶)⁶.
Решение:
(2² · 2⁴)⁷ / (2 · 2⁶)⁶ = (2⁶)⁷ / (2⁷)⁶ = 2⁴² / 2⁴² = 1.
Ответ: 1
Задания 9. Решите уравнение 2(x − 3) = x + 3.
Решение:
2(x − 3) = x + 3
2x − 6 = x + 3
x = 9.
Ответ: 9
Задания 10. На рисунке изображено дерево случайного опыта. Найдите вероятность события B.
Текстовая запись дерева:
S → A: 0,25; S → A̅: 0,75.
A → B: 0,4; A → B̅: 0,6.
A̅ → B: 0,2; A̅ → B̅: 0,8.
A̅ и B̅ — события, противоположные A и B.
Решение:
P(B) = P(A)·P(B|A) + P(Ā)·P(B|Ā)
= 0,25·0,4 + 0,75·0,2 = 0,1 + 0,15 = 0,25.
Ответ: 0,25
Задания 11. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
Описание графиков:
А) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится левее оси y и выше оси x.
Б) Ветви параболы направлены вниз; вершина находится правее оси y и выше оси x.
В) Ветви параболы направлены вверх; вершина находится правее оси y и ниже оси x.
ФОРМУЛЫ
y = −3x² + 3x + 1
y = −3x² − 3x + 1
y = 3x² − 3x − 1
ответ = Ответ: А–2, Б–1, В–3
Задания 12. Сила Архимеда, выталкивающая на поверхность погружённое в воду тело, вычисляется по формуле F = ρgV, где ρ = 1000 кг/м³ — плотность воды, g = 9,8 м/с² — ускорение свободного падения, а V — объём тела в кубических метрах. Сила F измеряется в ньютонах. Найдите силу Архимеда, действующую на погружённое в воду тело объёмом 0,6 куб. м. Ответ дайте в ньютонах.
Решение:
F = ρgV = 1000 · 9,8 · 0,6 = 5880 Н.
Ответ: 5880
Задания 13. Укажите решение системы неравенств:
−10 + 2x > 0,
7 − 6x > −5.
нет решений
(5; +∞)
(2; 5)
(−∞; 2)
Решение:
−10 + 2x > 0 → 2x > 10 → x > 5.
7 − 6x > −5 → −6x > −12 → x < 2.
x > 5 и x < 2 — нет решений.
Ответ: нет решений
Задания 14. Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 4 секунды торможения?
Решение:
Арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = −4.
S₄ = (2·20 + 3·(−4))·4/2 = (40 − 12)·2 = 28·2 = 56 м.
Ответ: 56
Задания 15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.
Решение:
BM — медиана, BM = AM = MC.
Значит M — центр описанной окружности, ∠A = 90°?
Если BM = AM = MC, то треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой AC.
∠C = 65°, тогда ∠A = 90° − 65° = 25°.
Ответ: 25
Задания 16. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,28. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.
Решение:
Диаметр = 25 → диагональ прямоугольника = 25.
sin α = 0,28 → α — угол между стороной и диагональю.
Стороны: a = 25·cos α, b = 25·sin α.
cos α = √(1 − 0,28²) = √(1 − 0,0784) = √0,9216 = 0,96.
S = a·b = 25·0,96 · 25·0,28 = 24 · 7 = 168.
Ответ: 168
Задания 17. В равнобедренной трапеции ABCD угол D равен 56°. Найдите градусную меру угла ACD, если луч AC является биссектрисой угла BAD.
Решение:
Равнобедренная трапеция ABCD, ∠D = 56°.
∠A = ∠D = 56°? Нет, в равнобедренной трапеции углы при основаниях равны: ∠A = ∠B, ∠C = ∠D.
∠D = 56° → ∠C = 56°.
∠A + ∠D = 180° → ∠A = 124°.
AC — биссектриса ∠BAD → ∠BAC = ∠CAD = 62°.
В треугольнике ACD: ∠CAD = 62°, ∠D = 56° → ∠ACD = 180° − 62° − 56° = 62°.
Ответ: 62
Задания 18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображены две точки. Найдите расстояние между ними.
Описание рисунка: от нижней левой точки до верхней правой — 4 клетки вправо и 3 клетки вверх.
ответ = 4 вправо, 3 вверх → расстояние = √(4² + 3²) = √25 = 5.
Ответ: 5
Задания 19. Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?
Если три угла одного треугольника равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Диагонали ромба равны.
Тангенс любого острого угла меньше единицы.
В ответе запишите номер истинного высказывания.
ответ = 1
Задания 20. Найдите все корни уравнения x³ = 4x² − x.
Решение:
x³ = 4x² − x
x³ − 4x² + x = 0
x(x² − 4x + 1) = 0
x = 0 или x² − 4x + 1 = 0
D = 16 − 4 = 12
x = (4 ± √12)/2 = 2 ± √3.
Ответ: 0; 2 − √3; 2 + √3
Задания 21. Свежие фрукты содержат 87 % воды, а высушенные — 22 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?
Решение:
Сухое вещество: 100% − 87% = 13% в свежих.
В высушенных: 100% − 22% = 78%.
49 кг высушенных → сухого вещества 49 · 0,78 = 38,22 кг.
Свежих: 38,22 / 0,13 = 294 кг.
Ответ: 294
Задания 22. Постройте график функции y = x|x| + |x| − 6x.
Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.
Ответ: m = 12,25; m < −6,25
Задания 23. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 3, CK = 19.
Решение:
Параллелограмм ABCD, биссектриса ∠A пересекает BC в K.
BK=3, CK=19 → BC=22.
Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник ABK: AB=BK=3.
Периметр = 2(AB+BC) = 2(3+22) = 50.
Ответ: 50
Задания 24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы AA₁C₁ и ACC₁ равны.
ответ =
Задания 25. В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD = 12, BC = 10.
ответ =