1 Ответ
1. В соревнованиях по шахматам каждый участник сыграл ровно по одной игре со всеми остальными участниками, в результате всех игр ничьи отсутствовали. Оказалось, что 5% всех участников не выиграли ни одной игры. Сколько шахматистов приняли участие в соревнованиях?
Составим и решим уравнение:
05 * n * (n — 1) = n * (n — 1) / 2
1 = n / (2 * 0.05 * n — 2 * 0.05)
1 = n / (0.1 * n — 0.1)
1 * (0.1 * n — 0.1) = n
1n — 0.1 = n
1n — n = 0.1
9n = 0.1
9n = 1/10
9n = 10
n = 10 / 0.9 = 100 / 9
Поскольку количество участников должно быть целым числом, умножим число участников, которые проиграли все игры на 20, чтобы получилось целое число n.
05 * n = 1, если n = 20.
Подставим это число в изначальное утверждение:
Если участников 20, то 5% это 1 участник.
Один участник проиграл 19 игр, остальные 19 участников выиграли. Каждый участник сыграл 19 игр. Всего сыграно 20 * 19 / 2 = 190 игр.
Таким образом, число участников равно 20.
Ответ: 20
2. Городской парк, имеющего форму прямоугольника с длиной 2x, разделили на две равные части. В каждой половине парка залили каток, прямоугольной формы длиной x. Площадь одного катка занимает шестую часть от всего парка и периметр катка равен 620 метров (см. рисунок). Площадь другого катка восьмую часть от всего парка и периметр – 600 метров. Чему равен периметр всего парка?
Решение:
Площадь первого катка: x * y = (1/6) * (2x * ширина парка)
Площадь второго катка: x * z = (1/8) * (2x * ширина парка)
Периметр первого катка: 2(x + y) = 620
Периметр второго катка: 2(x + z) = 600
Из уравнений площадей можно выразить ширину парка:
Ширина парка = 3y
Ширина парка = 4z
Следовательно, 3y = 4z, или y = (4/3)z
Из уравнений периметров выразим y и z:
y = 310 — x
z = 300 — x
310 — x = (4/3)(300 — x)
930 — 3x = 1200 — 4x
x = 270
y = 310 — 270 = 40
z = 300 — 270 = 30
Ширина парка = 3y = 3 * 40 = 120
Длина парка = 2x = 2 * 270 = 540
Периметр всего парка = 2(540 + 120) = 2 * 660 = 1320 метров
Ответ: Периметр всего парка равен 1320 метров.
3. Даша, Маша и Света на олимпиаде по математике вместе решили 14 различных задач. Даша решила задач в 2 раза меньше Маши, а Света больше Даши, но меньше Маши. Сколько задач решила Света?
Решение:
Если x = 1, то 3x = 3, тогда Света решила 14 — 3 = 11 задач. Но 11 > 2x (то есть 2), что не соответствует условию.
Если x = 2, то 3x = 6, тогда Света решила 14 — 6 = 8 задач. Но 8 > 2x (то есть 4), что не соответствует условию.
Если x = 3, то 3x = 9, тогда Света решила 14 — 9 = 5 задач. Проверим условия: 3 < 5 < 6 (то есть, Света решила больше, чем Даша, но меньше, чем Маша). Это условие выполняется.
Если x = 4, то 3x = 12, тогда Света решила 14 — 12 = 2 задачи. Но 2 < x (то есть 4), что не соответствует условию.
Ответ: Света решила 5 задач.
4. Первый велосипедист доезжает из одного города в другой за 2 часа, а второй ту же дорогу преодолевает за 3 часа. Через сколько часов они встретятся, если одновременно выедут из городов навстречу друг другу?
Решение:
Пусть расстояние между городами равно S.
Скорость первого велосипедиста: S/2
Скорость второго велосипедиста: S/3
При движении навстречу скорости складываются. Их общая скорость: S/2 + S/3 = 5S/6
Время до встречи: Расстояние / Общая скорость = S / (5S/6) = 6/5 часа = 1.2 часа
Ответ: 1.2
5. Одни из лучших сортов чая собираются в высокогорных районах Индии крестьянами вручную. При этом крестьянин получает 30 пайс за каждые полфунта собранного чая. Известно, что 1 фунт = 454 г, 100 пайс – 1 рупия. Сколько рупий заработает крестьянин, если соберёт 100 кг чая?
Решение:
Крестьянин собирает 100 кг чая. Сначала переведем в фунты:
100 кг = 100000 г
100000 г / 454 г/фунт = 220.264 фунта (примерно)
Так как плата идет за полфунта, умножаем на 2:
220.264 фунта * 2 = 440.528 полфунта (примерно)
Теперь считаем заработок в пайсах:
440.528 полфунта * 30 пайс/полфунта = 13215.84 пайс (примерно)
Переводим в рупии:
13215.84 пайс / 100 пайс/рупия = 132.16 рупий (округляем до сотых).
Ответ: 132.16
6. Кирилл осенью у бабушки на даче заметил, что созревшие яблоки падают с яблони с частотой 1 штука в 2 минуты. При этом взвесив яблоки, он выяснил, что средняя масса одного яблока 200 грамм. Из 1 кг яблок получается 400 мл вкусного сока. Сколько сока можно получить за 6 часов? Ответ запишите в литрах.
Решение:
Яблоки падают с частотой 1 яблоко в 2 минуты. За 6 часов (360 минут) упадет:
360 минут / 2 минуты/яблоко = 180 яблок
Общая масса яблок:
180 яблок * 200 г/яблоко = 36000 г = 36 кг
Количество сока:
36 кг * 400 мл/кг = 14400 мл = 14.4 литра
Ответ: 14.4