1 Ответ
Задание 1. На доску выписывают последовательность цифр 121122111222111122221… Сколько единиц будет записано на позициях с 1 по 10101 включительно, считая слева?
Решение:
После 100 пар (10100 цифр) начинается блок 201 (k=101, нечётный) из 101 единицы подряд.
10101-я позиция — это 1-я цифра этого блока → единица.
Добавляем 1 единицу.
Единиц на позициях 1..10101:
5050+ 1 = 5051.
Ответ = 5051
Задание 2. На городских соревнованиях по велосипедному спорту была придумана следующая схема проведения заездов: спортсмены вначале все едут одинаковое время – полчаса, а затем без остановки – дополнительное время, начисляемое по правилу: каждый получает в заезде дополнительное количество минут, равное расстоянию, которое он проехал за первые полчаса, измеренному в км. При подведении итогов выяснилось, что Василий за первые полчаса проехал на 6 км больше, чем Алексей, а по окончании заездов – на 9 км больше, чем Алексей. Найдите скорости езды Василия и Алексея, если эти скорости были постоянными
ответ = 21 и 9 км\ч
Задание 3. При некотором значении параметра q уравнение (𝑥 2 + 10𝑥 + 𝑞)(𝑥 2 + 10𝑥 + 𝑞 + 18) = 0 имеет четыре различных корня, и эти корни образуют арифметическую прогрессию. Каким может быть первый член этой прогрессии?
ответ = 38\8, 218\8
Задание 4. Выпуклый четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 вписан в окружность. Известно, что 𝐴𝐵 = 10, 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 25 и 𝐴𝐷 = 50. Известно, что сумма углов 𝐴 и 𝐷 этого четырёхугольника меньше 180°. Чему может равняться эта сумма?
ответ =
Задание 5. Артём задумал действительные числа 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎15. После чего он в некотором порядке выписал какие-то из произведений (возможно, все) 𝑎1𝑎2𝑎3, 𝑎2𝑎3𝑎4, … , 𝑎13𝑎14𝑎15, 𝑎14𝑎15𝑎1, 𝑎15𝑎1𝑎2. Получился ряд из нечётных натуральных чисел 1, 3, 5, 7, … , 2𝑘 + 1. Какое наибольшее 𝑘 могло у него получиться?
ответ =
11 класс:
Задание 1. Среди 14 человек 7 лжецов (они всегда лгут) и 7 рыцарей (они всегда говорят правду). Каждому из них дали конверт, причём ровно в 7 из них положили открытку. У людей спросили, есть ли у них в конверте открытка. Могло ли оказаться, что 7 из них ответили «да», а 7 ответили «нет»?
ответ = Нет (не может быть 7 «да» и 7 «нет» при данных условиях.)
Задание 2. Дана тройка последовательных неоднозначных простых чисел таких, что их среднее арифметическое – также простое число. Докажите, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, разность которой делится на 6.
ответ =
Задание 3. Петя вырезал из картона 21 треугольник, у каждого из которых одна из сторон (будем называть её основанием) равна 2, а две другие (будем называть их боковыми сторонами) – целочисленные. Затем он сложил эти треугольники так, что их вершины совпали, а основания образовали 21-звенную пространственную замкнутую ломаную. Докажите, что если у одного из треугольников есть боковая сторона длины 25, то сумма периметров всех треугольников не меньше 872.
ответ =
Задание 4. На тригонометрической окружности отметили вершины правильного 28- угольника, причём одна вершина попала в точку (1; 0). Два игрока по очереди красят по одной вершине своим цветом. Дважды красить вершины нельзя. Игра заканчивается, когда покрашены все вершины. После чего первый игрок считает сумму 𝑆1 – сумму модулей синусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом первого игрока. Второй игрок считает сумму 𝑆2 – сумму модулей косинусов углов, соответствующих точкам, покрашенным цветом второго игрока. Если 𝑆1 > 𝑆2, то выигрывает первый игрок. Иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?
ответ =
Задание 5. Верно ли, что у уравнения 𝑎 3 − 𝑏 3 = 𝑐 4 есть решение в натуральных числах такое, что 𝑐 > 5^ 2025?
ответ = Да, такое решение существует: можно взять известное маленькое решение (например, (a, b, c) = (2, 1, 1)? нет, 8 — 1 = 7 не четвертая степень) — но известно, что нетривиальные решения есть, и масштабированием получаем с > 5^2025.