1 Ответ
7 класс
1. Бегемотики Ася и Вася изначально весили одинаково. За год вес Аси увеличился в 3,5 раза, в следующий год — ещё в 2,5 раза, а в третий — ещё в 1,5 раза. При этом вес Васи в первый год увеличился в 4,5 раза, во второй — ещё в 3,5 раза, а в третий — ещё в 2,5 раза. Во сколько раз теперь Вася тяжелее Аси?
Ответ: 3
2. Петя написал на доске семизначное число. Для каждой пары соседних цифр этого числа Вася записал себе в тетрадку их сумму. Оказалось, что у Васи все числа различные. Какое максимальное число мог написать Петя?
Ответ: 9988796
3. На прямой в некотором порядке расположены пять различных точек A, B, C, D и E. Известно, что AB=4,BC=7,CD=11,DE=16. Чему равно наименьшее возможное расстояние между A и E?
Ответ: 2
4. Малыш и Карлсон решили пробежать три круга по стадиону. Малыш бежал всю дистанцию с постоянной скоростью 4 км/ч. Карлсон бежал каждый круг с постоянной скоростью. Первый круг он бежал с той же скоростью, что и Малыш. Затем он подкрепился вареньем и пробежал второй круг в шесть раз быстрее. После второго круга он тоже подкрепился вареньем, но понял, что объелся, и замедлился. С какой скоростью Карлсон бежал третий круг, если они с Малышом финишировали одновременно, но в течение забега Карлсон потратил на поедание варенья столько же времени, сколько и на бег? Ответ дайте в км/ч.
5. Маша, Даша и Саша загадали по числу от 1 до 9, а затем сообщили эти числа друг другу. Оказалось, что все загаданные ребятами числа различны. После этого каждый из них произнёс по утверждению:
Маша: «Сумма загаданных чисел делится на 4».
Даша: «Если бы я могла загадывать числа больше 9, я бы загадала число в три раза больше, и тогда сумма загаданных увеличилась бы вдвое».
Саша: «Все загаданные числа больше 2».
Напишите загаданные ими числа в любом порядке, если известно, что никто из них не ошибся.
6. У Егора есть таблица 5×5. Назовём крестом какой-то клетки все 99 клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась такая таблица. Сколько клеток загадал Егор?
7. Отметьте клетки, которые загадал Егор. Найдите координаты загаданных клеток.
8. В лесу 40% деревьев — хвойные, при этом ели составляют 34% от числа хвойных деревьев. а) (1 балл) Какое наименьшее число деревьев может расти в таком лесу? б) (3 балла) На Новый год в лесу срубили несколько хвойных деревьев, и доля елей среди хвойных деревьев снизилась до 33%. А какое наименьшее число деревьев могло расти в лесу до Нового года при таком дополнительном условии?
9. Какое наименьшее количество прямоугольников 3×4и 1×7нужно использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании нужно использовать хотя бы один прямоугольник каждого типа.
8 класс
1. Найдите наибольшее натуральное число nn, при котором (7!)!(7!)! делится на n!n!. Здесь k! означает произведение 1⋅2⋅3⋅…⋅k
Ответ: 5039
2.Саша и Маша пришли в магазин. Саша купил 3 пакета молока, 7 пачек творога и 5 йогуртов. Маша купила 2 пакета молока, 10 пачек творога и 6 йогуртов. Саша потратил на всё 980 рублей, а Маша потратила 1160 рублей. Сколько суммарно стоит один пакет молока, одна пачка творога и один йогурт?
Ответ: 200
3. Внутри трапеции ABCDABCD с основаниями AD и BC отметили точку O. Оказалось, что AO=BO=CO=BC и DA=DO=DC. Сколько градусов составляет угол BAO?
4. В компанию «Рожки и Лапки» устроилось некоторое количество тружеников и 310 лентяев. Каждый день на работу приходило по 50 человек, причём в конце рабочего дня 25 из них говорили: «Сегодня на работу пришло ровно 20 лентяев». Известно, что труженики всегда говорили правду, а лентяи всегда лгали. Через nn дней оказалось, что каждый из лентяев сходил на работу ровно 1 раз. а) (2 балла) Найдите наибольшее возможное значение n. б) (2 балла) Найдите наименьшее возможное значение n.
5. У Пети есть три палочки, длины которых равны a см, b см и c см. Известно, что числа a, b и c натуральные, различные, и ac=b2. Петя смог сложить из своих палочек треугольник. а) (2 балла) Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
6. Пусть b=72b=72. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
7. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. На гипотенузе ABAB отметили точки X и Y, такие что CX и CY — биссектрисы углов BCH и HCA соответственно. Найдите, чему равна длина стороны AB, если известно, что периметр треугольника ABCABC равен 44, а длина отрезка XY равна 6.
8. Найдите сумму цифр числа
9. Новая шахматная фигура гусь может ходить либо на одну клетку влево, либо на две клетки вправо и одну вверх, либо на две клетки вверх и одну вправо. Возможные ходы гуся, стоящего в клетке Г, отмечены на рисунке крестиками. Гусь бьёт так же, как и ходит.
Несколько гусей стоят в клетках доски 8×88×8 так, что никакой гусь не бьёт другого гуся, при этом любая незанятая клетка бьётся хотя бы одним гусём. Сколько гусей может стоять на доске? Укажите все возможные варианты в любом порядке.