Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

Пусть 𝑥 — масса 45%-го раствора, а 𝑦 — масса 97%-го раствора.

Сначала рассмотрим первую ситуацию с добавлением 10 кг чистой воды.

Общее количество массы в растворе с добавлением воды:

𝑥+𝑦+10

Содержание кислоты в растворе с добавлением воды:

0.45𝑥+0.97𝑦

Получаем уравнение для 62%-го раствора:

0.45𝑥+0.97/𝑥+𝑦+10=0.62

𝑥+𝑦+10:

0.45𝑥+0.97𝑦=0.62(𝑥+𝑦+10)

Распределяем 0.62:

0.45𝑥+0.97𝑦=0.62𝑥+0.62𝑦+6.2

0.45𝑥+0.97𝑦−0.62𝑥−0.62𝑦−6.2=0

−0.17𝑥+0.35𝑦−6.2=0

0.35𝑦−0.17𝑥=6.2(1)

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, где добавляется 10 кг 50%-го раствора.

Общее количество массы в растворе с добавлением 50%-го раствора:

𝑥+𝑦+10

Содержание кислоты в растворе с добавлением 50%-го раствора:

0.45𝑥+0.97𝑦+0.5⋅10=0.45𝑥+0.97𝑦+5

Получаем уравнение для 72%-го раствора:

0.45𝑥+0.97𝑦+5/𝑥+𝑦+10=0.72

𝑥+𝑦+10:

0.45𝑥+0.97𝑦+5=0.72(𝑥+𝑦+10)

0.45𝑥+0.97𝑦+5=0.72𝑥+0.72𝑦+7.2

0.45𝑥+0.97𝑦+5−0.72𝑥−0.72𝑦−7.2=0

−0.27𝑥+0.25𝑦−2.2=0

Переписываем это уравнение:

0.25𝑦−0.27𝑥=2.2(2)

Теперь у нас есть система уравнений:

{0.35𝑦−0.17𝑥=6.20.25𝑦−0.27𝑥=2.2

Для решения системы умножим первое уравнение на 5 и второе на 7:

{1.75𝑦−0.85𝑥=311.75𝑦−1.89𝑥=15.4

Вычтем второе уравнение из первого:

(−0.85𝑥+1.89𝑥)=31−15.4

1.04𝑥=15.6⇒𝑥=15.6/1.04≈15

Теперь подставим значение 𝑥 в (1) или (2) чтобы найти 𝑦. Подставим в первое уравнение:

0.35𝑦−0.17*15=6.2

0.35𝑦−2.55=6.2 0.35𝑦=8.75⇒𝑦=8.75/0.35≈25

Итак, массы составляют:

𝑥≈15 кг (45%-й раствор),𝑦≈25 кг (97%-й раствор)

Ответ: использовали примерно 15 кг 45%-го раствора.