У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?

Рассмотрим число 100, которое можно разложить на простые множители:

100=2^2⋅5^2.

Это подразумевает, что чтобы разность делилась на 100, необходима как минимум одинаковая четность для делителей, а также соответствующее распределение по простым множителям 2 и 5.

Существует следующее обстоятельство: если число 𝑛 имеет четное количество делителей (в данном случае 50), то по крайней мере один из его делителей должен быть четным. Также, если один парный делитель четен, то всегда найдется какой-то нечетный делитель — так, например, могут обстоять дела с делителями простых чисел.

Как минимум один из делителей, так же как и само число 𝑛, должен быть кратен 2 (и таким образом, четным), в то время как другой делитель будет нечетным, обеспечивая наличие разности, зависящей от четности.

Так как у четного числа 𝑛 четные и нечетные делители существуют, всегда найдется пара делителей с разностью, кратной 2, а еще если в числе есть хотя бы один 5 в разложении на множители, найдём кратные 5 однозначно, что не поможет избежать разности, кратной 100. Это подразумевает, что возможно, чтобы разность двух различных делителей, кратная 100.

Ответ: Нет, такое не может произойти.