1 Ответ
Задание 1
Даны числа 1, 4, 5, 6, 9. Припишите к каждому из них слева одну из цифр 1, 2, 4, 6, 8 так, чтобы каждое число стало квадратом.
Решение:
Дано: 1, 4, 5, 6, 9
Необходимо добавить слева одну из цифр 1, 2, 4, 6, 8.
1 → 81 (квадрат 9-ки)
4 → 64 (квадрат 8-ки)
5 → 25 (квадрат 5-ки)
6 → 16 (квадрат 4-ки)
9 → 49 (квадрат 7-ки)
Задание 2
На плоскости нарисовали два произвольных непересекающихся треугольника и луч.
Сколько общих точек могло образоваться? Выберите все верные варианты ответа: 0,2,3,5,6
Решение:
0 — верно. Если луч не пересекает треугольники, то нет общих точек.
2 — верно. Если луч проходит через один из вершин каждого треугольника.
3 — верно. Если луч проходит через одну из вершин одного треугольника и через один из отрезков (сторону) другого треугольника.
5 и 6 — неверно. Такая ситуация невозможна, так как каждый треугольник имеет только 3 вершины, и луч может пересечь не более двух сторон каждого треугольника.
Ответ: верные варианты ответа: 0, 2, 3.
Задание 3
В апреле Аня каждый день совершала прогулку. В те 16 дней, когда согласно прогнозу ожидался дождь, она брала с собой зонтик, в остальные дни — не брала. За 30 апрельских дней прогноз погоды оправдался ровно 20 раз. К счастью, в те дни, когда шёл дождь, у Ани всегда был с собой зонтик.
Сколько дней в апреле шёл дождь? = 6 дней
Решение:
1) Есть всего 30 дней.
2) В 16 дней ожидается дождь и Аня берет зонтик.
3) Прогноз оправдывается в 20 дней значит, что именно в 20 днях либо дождь был предсказан и он пошел, либо дождь не был предсказан и его не было.
4) Если шел дождь, то у Ани был зонтик, значит, дождь либо был предсказан, либо не был, но зонт был с собой.
Из пункта 3) знаем, что в 10 дней (30 — 20 = 10) прогноз не оправдался.
Из пункта 4) знаем, что в дни, когда не ожидался дождь (30 — 16 = 14), у Ани не было зонта.
Значит, в 14-10=4 дней было сухо и у Ани не было зонта, а в 10-4=6 дней шел дождь, но это не было предсказано, однако у Ани все же был зонт.
Ответ: искомое количество дней — 6
Задание 4
Фигура на рисунке состоит из двух одинаковых квадратов, наложенных друг на друга. Общая часть также представляет собой квадрат, который окрашен серым цветом. Площадь каждого большого квадрата 144 см², а периметр образованной наложением фигуры равен 68 см.
Чему равна сторона закрашенного квадрата? Ответ выразите в сантиметрах.= 7 см
Решение:
1) Найдем длину стороны каждого большого квадрата. Площадь квадрата равна стороне квадрата, возведенной в квадрат. То есть 144 = a², следовательно, a = √144 = 12 см. Значит, сторона каждого большого квадрата равна 12 см.
2) Найдем периметр каждого большого квадрата. Периметр квадрата равен умножению стороны на 4. То есть, P = 4a = 4 * 12 = 48 см.
3) Из условия задачи известно, что периметр образованной наложением фигуры равен 68 см.
4) Разность периметра двух больших квадратов и периметра полученной фигуры будет равна периметру закрашенной фигуры. То есть, 48 * 2 — 68 = 28 см.
5) Так как закрашенная часть представляет собой квадрат, его периметр также равен умножению стороны на 4, то есть 28 = 4b, следовательно, b = 28 / 4 = 7 см.
Задание 5
В парке аттракционов 10 билетов стоят дешевле 5560 рублей, а 11 билетов — дороже 6100 рублей.
Сколько стоит один билет, если его цена выражается целым числом рублей?
Решение:
Поскольку 10 билетов стоят меньше 5560 рублей, каждый билет стоит меньше 556 рублей (5560 / 10 = 556).
Поскольку 11 билетов стоят больше 6100 рублей, каждый билет стоит больше 554 рублей (6100 / 11 = 554,5454).
Учитывая, что цена билета выражается целым числом рублей, получаем, что каждый билет стоит 555 рублей.
Задание 6
Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове домино, чтобы никакие две гласные буквы не стояли рядом и никакие две согласные буквы тоже не стояли рядом? Словом считается любой упорядоченный набор букв. = 36 слов
Задание 7
Пираты решили разделить сундук с золотыми монетами, при этом каждый должен получить хотя бы одну монету. Известно, что каждому в среднем досталось по 97 монет. Если не считать капитана, получившего 137 золотых, то среднее количество монет у оставшихся пиратов уменьшится до 89.
Какое максимальное количество золотых монет мог получить один из пиратов?
Решение:
Пусть число пиратов равно P (включая капитана), а общее количество монет — М.
Из значений средних арифметических, которые даны в условии, имеем два уравнения:
1) M = 97P.
2) (M — 137) / (P — 1) = 89.
Таким образом, из уравнения (1) мы находим, что M = 97P, подставим это значение в уравнение (2) и получим:
97P — 137 = 89P — 89.
После приведения членов получим:
8P = 48.
Вывод: P = 6 (5 пиратов + капитан).
Тогда общее количество монет M = 97P = 582.
Поскольку каждый пират должен получить хотя бы одну монету, максимальное количество монет, которое мог бы получить один из пиратов — это общее количество монет минус количество пиратов (каждый из остальных получит по монете), т. е. 582 — 6 = 576.
Однако, мы уже знаем, что капитан получил 137 монет, тогда максимальное количество для одного из пиратов будет 576 — 137 = 439.
Задание 8
Из 343 единичных кубиков сложили куб размером 7×7×7 и покрасили его грани. После этого убрали те единичные кубики, у которых было по 3 покрашенных грани, и у получившейся фигуры докрасили все видимые грани. Потом эту процедуру повторили ещё дважды.
Из скольких единичных кубиков состоит оставшаяся фигура?
Ответ: после трех этапов у нас останется 263 кубика