У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров. В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе?

Задание 1: У Васи есть прямой бикфордов шнур длиной 20 метров, который горит равномерно со скоростью 1 метр в минуту. Вася хочет поджечь его одновременно в нескольких точках так, чтобы весь шнур сгорел быстрее чем за 3 минуты.
В каком наименьшем количестве точек надо поджечь шнур Васе? От места поджигания шнур начинает гореть в обе стороны. = 4 

Задание 2: Действительные числа x,y,z таковы, что (x+y)(x+y+z)=785, (y+z)(y+z+x)=692, (z+x)(z+x+y)=973
Найдите все возможные значения x+y+z.
Каждое возможное значение записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. = -35; 35

Задание 3: У Васи было много прямоугольников размеров 1×14,1×35,1×36,1×39. Вася сложил из этих прямоугольников квадрат 37×37, без пропусков и наложений. Оказалось, что при этом использовались прямоугольники ровно двух размеров. Каких?
1×36
1×39
1×35
1×14

Задание 4: 166 гномов отправились в поход. Они выходили из точки старта в разное время, у каждого гнома своя постоянная скорость. Оказалось, что каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных. Каким по счёту финишировал гном, вышедший пятьдесят третьим? = 114 

Решение:
Поскольку каждый гном в какой-то момент был впереди всех остальных, это значит, что каждый следующий гном идет быстрее предыдущего. Поэтому гном, вышедший пятдесят третьим, никогда не сможет обогнать гномов, вышедших после него, но обгонит всех, кто вышел до него.
Следовательно, гном, вышедший пятдесят третьим, финиширует на 166 — 53 + 1 = 114 месте. Плюс один, потому что мы включаем и самого гнома в число обогнанных.

Задание 5: Про выпуклый четырёхугольник ABCD известно, что 𝐴𝐵=𝐴𝐶=5, 𝐵𝐶=𝐶𝐷=6. Какая наибольшая площадь у него может быть?

Задание 6: На картинке изображены две окружности, касающиеся в точке 𝐶;𝑂 — центр одной из окружностей; 𝐴𝐵 — их общая внешняя касательная; 𝐷 — вторая точка пересечения 𝑂𝐶 и окружности. Известно, ∠𝐴𝑂𝐶=116∘.
Найдите градусную меру угла ∠𝐵𝐷𝐶. = 28 градусная мера

Задание 7: Квадратное уравнение 𝑓(𝑥)=0 имеет ровно один действительный корень 𝑡. Оказалось, что квадратное уравнение 𝑓(5𝑥+1)+𝑓(7𝑥−5)=0 также имеет ровно один действительный корень (не обязательно равный 𝑡). Найдите все возможные значения числа 𝑡. = 16 

Задание 8: Сколько существует возрастающих арифметических прогрессий из 11 членов, каждый из которых — натуральное число от 1 до 440 включительно? = 9460

Решение:
Обозначим первый член прогрессии как a, разницу между членами — как d. Тогда последний, одиннадцатый член прогрессии будет равен a + 10d. Поскольку все члены прогрессии — натуральные числа от 1 до 440, последний член должен лежать в том же интервале.
Подставляя эти условия, получим систему неравенств:
1 <= a <= 440
1 <= a + 10d <= 440
Из второго неравенства вычитаем первое:
0 <= 10d <= 439
Это значит, что d может принимать любые значения от 1 до 43 (включительно).
Теперь надо понять, как меняется количество возможных значений a при изменении d. Возьмем два крайних случая:
1) d = 1. Тогда a может принимать значения от 1 до 430 (включительно, так как последний элемент не должен превысить 440), то есть 430 возможных значений.
2) d = 43. Тогда a может принимать значения от 1 до 57 (включительно), то есть 57 возможных значений.
Получили арифметическую прогрессию, количество членов в которой равно 43. Теперь можно найти ее сумму: (430 + 57) / 2 * 43 = 9460.
Ответ: 9460 возрастающих арифметических прогрессий.