Каждое натуральное число, большее 1000, окрасили либо в красный, либо в синий цвет. Может ли случиться, что никакие два синих числа не отличаются на 1?

Решение:
Предположим, что это возможно.
Лемма. Пусть число n синее; тогда n^2 — красное.
Доказательство. Поскольку n синее, числа n − 1 и n + 1 красные, иначе два синих числа отличаются на 1. Поэтому число n^2 − 1 = (n − 1) (n + 1) синее. Значит, n^2 красное.  Очевидно, что существует синее число k > 1001; по лемме число k^2 красное. Рассмотрим два случая:

Ответ: Не может.