В резиденции Деда Мороза работает не менее 60 и не более 80 гномиков. Дед Мороз проводит собрание. К началу собрания пришло меньше половины гномиков (а возможно, что и никто не пришел). Спустя 10 минут после объявленного начала на собрание пришел еще один гномик. А) Могло ли получиться так, что после этого на собрании присутствовало больше половины гномиков? Б) Возможно ли, что и до и после прихода опоздавшего гномика процент гномиков на собрании выражался целым числом? В) Какое наибольшее целое значение мог принять процент так и не пришедших на собрание гномиков?
1 Ответ
Решение:
а) Заметим, что 
причем на 10 чисел, равных 44 и 5 чисел, равных 4, ушло ровно 25 четверок.
б) Остаток от деления на 9 любого числа совпадает с остатком от деления на 9 его суммы цифр. Кроме того, остаток суммы равен сумме остатков слагаемых (возможно, уменьшенной на определенное число, кратное 9). Значит, остаток от деления любой такой суммы на 9 совпадает с остатком от деления 
на 9 и равен 1. Но 800 дает остаток 8 при делении на 9.
в) Из предыдущего пункта следует, что 4n должно давать тот же остаток при делении на 9, что и 800, то есть 8. Значит, 
кратно 9, поэтому n дает остаток 2 при делении на 9.
Для получения суммы 800 можно использовать только слагаемые 4, 44, 444, причем последнее не более одного раза. Поскольку 
и 
использовать 11 и менее четверок невозможно. Тогда 
это позволяет использовать 20 четверок.
Заменяя по очереди каждое 44 на сумму одиннадцати четверок, мы будем увеличивать общее количество цифр на 9, что даст варианты с 
четверками.
Далее, 
это позволяет использовать 101 четверку. После этого вновь заменяя 44 на сумму одиннадцати четверок, мы получим варианты 110, 121, …, 200.
Больше нельзя, поскольку любое число из k четверок не меньше 4k, значит, сумма чисел, в которых более двухсот четверок, больше 800. Итак, 
Эти числа можно записать в виде 
где 
всего 21 число.
Ответ: а) да; б) нет; в) 21.