Верблюд — шахматная фигура, которая ходит на три клетки в одну сторону, а затем на одну в перпендикулярном направлении. Вася выписал все способы расставить несколько верблюдов на доске 8 × 8 (включая тот, где никаких верблюдов нет), а затем стер те, в которых найдутся угрожающие друг другу верблюды. Докажите, что число оставшихся расстановок является квадратом натурального числа.
1 Ответ
Чтобы доказать, что число оставшихся расстановок является квадратом натурального числа, для наглядности раскрасим доску в шахматную раскраску.
Учтём, что верблюд, который стоит на чёрной клетке — чёрный, а на белой — соответственно, белый.
Обратим внимание, что чёрные верблюды бьют только чёрных верблюдов, и естественно, белые только белых.
Учитывая, что количество расстановок только белых или только чёрных верблюдов одинаково, то, к примеру, пусть их будет N.
Резюме: Расстановка белых верблюдов и чёрных независимо друг от друга.
То есть для одной любой расстановки белых верблюдов существует N, для расстановок чёрных N, соответственно, всего их будет N².