1 Ответ
1. На рисунке изображён график функции y = −a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
Ответ: a < 0, k < 0, b < 0; a < 0, k > 0, b > 0
№1.1
На рисунке изображён график функции y = a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
Ответ: a > 0, k > 0, b < 0; a > 0, k < 0, b > 0
№1.2
На рисунке изображён график функции y = a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
Ответ: a > 0, k > 0, b > 0; a > 0, k < 0, b < 0
№1.3
На рисунке изображён график функции y = −a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
Ответ: a < 0, k < 0, b > 0; a < 0, k > 0, b < 0
2. Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 8 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 54.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в ботдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: b = 18; a = 24, 48
№2.1
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 45 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 60.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: b = 20; a = 10, 70
№2.2
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 27 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 36.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: b = 12; a = 6, 42
№2.3
Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 18 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 24.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: b = 8; a = 4, 28
3. На окружности отмечены 18 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 18. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Ответ: 7/34
№3.1
На окружности отмечены 20 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 20. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Ответ: 4/19
№3.2
На окружности отмечены 12 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 12. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Ответ: 2/11
№3.3
На окружности отмечены 14 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 14. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?
Ответ: 5/26
4. Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 5 и n + 32 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4; 164
№4.1
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 12 и n + 45 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4; 244
№4.2
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 20 и n + 59 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5; 341
№4.3
Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 6 и n + 61 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3; 723
5. В треугольнике ABC со сторонами AB = 5 и AC = 6 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Ответ: 1/11
№5.1
В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 и AC = 4 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Ответ: 1/7
№5.2
В треугольнике ABC со сторонами AB = 4 и AC = 5 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Ответ: 1/9
№5.3
В треугольнике ABC со сторонами AB = 6 и AC = 7 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.
Ответ: 1/13
6. Последовательность задана условиями a₁ = 2, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₂₆. Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.
Ответ: a2026 = 1/3; −588
7. Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 80, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?
Ответ: 31.
8. Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности. Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 9°. Найдите градусную меру угла BAI.
Ответ: 93∘