1 Ответ
Задание 1. Куб 9 × 9 × 9 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Ответ: 25
№1.1
Куб 15 × 15 × 15 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Ответ: 43
№1.2
Куб 13 × 13 × 13 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Ответ: 37
№1.3
Куб 11 × 11 × 11 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Ответ: 31
Задание 2. Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать. Сколькими способами можно уложить плитки?
Ответ: 8
№2.1
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать. Сколькими способами можно уложить плитки?
Ответ: 4
№2.2
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать. Сколькими способами можно уложить плитки?
Ответ: 6
№2.3
Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать. Сколькими способами можно уложить плитки?
Ответ: 6
Задание 3. На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 2, 3, 3 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BD
CE
AC
DE
DF
CF
AF
BE
Ответ: CE; AF
№3.1
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 3, 3, 2 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
AC
BD
CE
DF
BE
CF
DE
Ответ: AC; DE
№3.2
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 4, 3, 3, 2, 2 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
DF
AC
CE
BD
BE
CF
DE
Ответ: AC; BD
№3.3
На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 3, 4, 3, 3, 3, 2 канала (к пункту A — 3 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BE
BD
DE
AC
AF
CE
CF
DF
Ответ: BD; CE
Задание 4. Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Датчик Первое время записи Период
A 3 мин 4 мин
B 5 мин 6 мин
C 2 мин 9 мин
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент (мин):
Второй момент (мин):
Ответ: 11; 47
№4.1
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Ответ: 20; 272
№4.2
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Ответ: 14; 86
№4.3
Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Ответ: 17; 57
Задание 5. Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 468;
если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 198;
исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Ответ: 385
№5.1
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 477;
если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 297;
исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Ответ: 275
№5.2
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 189;
если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 99;
исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Ответ: 132
№5.3
Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 576;
если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 396;
исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Ответ: 286
Задание 6. Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 8 и НОК(a; b) = 7560? Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.
Ответ: 8.
Задание 7. В треугольнике ABC ∠BAC = 37°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 106∘
Задание 8. Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 8.
Ответ: 136.