1 Ответ
Задание 1. Две базы отдыха стоят на берегу озера в 105 км друг от друга. Артём и Слава договорились встретиться на воде и в одну и ту же минуту отплыли навстречу друг другу: Артём — от первой базы со скоростью 20 км/ч, Слава — от второй со скоростью 15 км/ч.
Через сколько часов их катера поравняются?
Решение:
20 + 15 = 35 (км/ч) — скорость сближения.
105 : 35 = 3 (ч).
Ответ: через 3 часа.
Задание 2. Даша спросила у мамы, сколько ей лет.
— Мне 36, а тебе 12, — ответила мама. — Сейчас я ровно втрое старше тебя, но так будет не всегда: с каждым годом я старше тебя всё в меньшее число раз.
Даша задумалась: через сколько лет мама будет ровно в 2 раза старше её?
Решение:
Разница в возрасте: 36 − 12 = 24 (года). Мама всегда будет старше Даши на 24 года.
Когда мама будет в 2 раза старше: Если мама в 2 раза старше, то разница (24 года) — это одна часть, то есть возраст Даши.
Возраст Даши будет: 24 года.
Сколько лет пройдет: 24 − 12 = 12 (лет).
Ответ: через 12 лет.
Задание 3. На школьном шкафчике Кости стоит кодовый замок: код состоит из двух цифр. Костя забыл код, но помнит три вещи:
1. В коде использованы только цифры из набора 0, 2, 5, 7.
2. Обе цифры кода разные.
3. На нуль код не начинается.
Сколько всего кодов подходит под эти условия?
Решение:
Первая цифра: не может быть 0, значит подходят 2, 5, 7 — 3 варианта.
Вторая цифра: должна быть другой (не такой, как первая), но может быть 0. Всего цифр 4, одну уже заняли, значит остаётся 3 варианта.
Перемножаем: 3 × 3 = 9.
Ответ: 9 кодов.
Задание 4. Маша обвела плитку шоколада ниткой по самому краю — нитки ушло ровно 36 см. Плитка прямоугольная, и Маша разломила её пополам на две одинаковые квадратные половинки.
Сколько сантиметров нитки понадобится, чтобы так же обвести по краю одну половинку?
Решение:
Периметр всей плитки: 36 см.
Плитка состоит из двух одинаковых квадратов. Значит, длина плитки в 2 раза больше ширины.
Обозначим ширину за 1 часть, тогда длина — 2 части. Периметр прямоугольника: (1 + 2) × 2 = 6 частей.
Одна часть: 36 : 6 = 6 (см) — это сторона квадрата (ширина плитки).
Периметр одной квадратной половинки: 6 × 4 = 24 (см).
Ответ: 24 см.
Задание 5. Волшебный автомат работает так: он вычитает из введённого числа 7, полученный результат умножает на 5, а затем прибавляет 13.
Петя ввёл число и получил на выходе 68. Какое число ввёл Петя?
Решение:
Идём в обратном порядке, выполняя противоположные действия:
Последнее действие — прибавить 13. Значит, до него было: 68 − 13 = 55.
Перед этим умножали на 5. Значит, до умножения было: 55 : 5 = 11.
Первое действие — вычесть 7. Значит, введённое число: 11 + 7 = 18.
Ответ: Петя ввёл число 18.
Задание 6. Тимур сложил из одинаковых деревянных кубиков прямоугольный брус размером 5 × 4 × 3 кубика (см. рисунок) и покрасил его снаружи со всех сторон, не забыв и про низ. Когда краска высохла, Тимур разобрал брус обратно на кубики и стал раскладывать их по кучкам: в одну — кубики с одной покрашенной гранью, в другую — с двумя, и так далее.
Сколько кубиков попало в кучку «ровно две покрашенные грани»?
Решение:
Кубики с двумя покрашенными гранями — это кубики, которые находятся на рёбрах, но не в углах.
У прямоугольного бруса 5 × 4 × 3 есть 12 рёбер: по 4 ребра каждого размера.
Считаем кубики на рёбрах (без углов):
По 4 ребра длиной 5: (5 − 2) × 4 = 3 × 4 = 12
По 4 ребра длиной 4: (4 − 2) × 4 = 2 × 4 = 8
По 4 ребра длиной 3: (3 − 2) × 4 = 1 × 4 = 4
Складываем: 12 + 8 + 4 = 24.
Ответ: 24 кубика.
Задание 7. Дежурный по классу Марк складывает в мешок жетоны для жеребьёвки: 7 синих, 9 жёлтых и 11 зелёных. Перед игрой ему нужно вынуть из мешка не глядя несколько жетонов так, чтобы среди них наверняка нашёлся хотя бы один жетон каждого цвета — по одному для каждой из трёх команд.
Какое наименьшее число жетонов должен вынуть Марк?
Решение:
Чтобы гарантированно получить жетон каждого цвета, нужно рассмотреть самый неудачный случай.
Худший случай: Марк вытаскивает сначала все жетоны двух самых многочисленных цветов: 11 зелёных + 9 жёлтых = 20 жетонов. Синих среди них нет.
Следующий жетон: 21-й жетон обязательно будет синим, так как других цветов в мешке больше не осталось.
Итог: 20 + 1 = 21.
Ответ: 21 жетон.
Задание 8. Петя сшил себе самодельную тетрадь для рисунков — получилось 100 страниц. Печатать номера было негде, и Петя решил пронумеровать страницы от руки: он аккуратно выводил на каждой странице её номер, цифру за цифрой, начиная с 1 и заканчивая 100.
Сколько всего цифр написал Петя?
Решение:
Считаем цифры по группам страниц:
С 1 по 9 страницу — однозначные номера: 9 страниц × 1 цифра = 9 цифр.
С 10 по 99 страницу — двузначные номера: 90 страниц × 2 цифры = 180 цифр.
Страница 100 — трёхзначный номер: 1 страница × 3 цифры = 3 цифры.
Складываем: 9 + 180 + 3 = 192.
Ответ: 192 цифры.