1 Ответ
1. Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари (говорят только правду) и лжецы (всегда лгут). Как-то раз 60 жителей этого острова встали в круг, после чего каждый заявил: «Хотя бы один из тех, кто стоит рядом со мной, — лжец».
Какое наименьшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
Ответ: 20
Какое наибольшее количество лжецов может быть среди этих 60 островитян?
Ответ: 30
Если бы вопрос к задаче звучал так: «Сколько лжецов может быть среди этих 60 островитян?», то сколько вариантов ответа было бы в этой задаче?
Ответ: 11
2. Одно число
На доске написаны все натуральные числа от 1 до 50 (каждое ровно по одному разу). За одну операцию разрешается стереть любые два числа a и b и написать вместо них одно число a + b − 1. Операция повторяется до тех пор, пока на доске не останется ровно одно число.
Сколько всего таких операций будет сделано до окончания процесса?
Ответ: 49
Какое число останется на доске по окончании процесса?
Ответ: 1226
3. Три косаря
Сыновья Царя Берендея – Дмитрий-царевич, Василий-царевич и Иван-царевич – в свободное время любили траву косить. Старший сын Дмитрий-царевич мог за 3,5 часа накосить на лугу около дворца 63% всей травы. Средний сын Василий-царевич мог за 6 часов накосить на том же лугу 50% всей травы. Скорость, с которой косит младший сын Иван-царевич, на 64% больше, чем скорость, с которой работает Василий-царевич. За сколько часов будет скошена вся трава на лугу около дворца, если все три царевича возьмутся за дело вместе?
Ответ: 2.5
4. Сумма отрезков
В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что AH = BC + CH и угол ABC равен 78°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
Сколько градусов составляет угол BAC?
Ответ: 34
Сколько градусов составляет угол BCA?
Ответ: 68
5. Речная прогулка
Расстояние между двумя пристанями катер проходит по течению реки за 2 часа, а обратно, против течения, – за 6 часов. Плот плывёт со скоростью течения реки.
За сколько часов плот проплывёт расстояние между этими пристанями?
Ответ: 6
Во сколько раз собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) больше скорости течения реки?
Ответ: 2
6. Загадочное число
Миша загадал пятизначное число и сообщил его Роману и Насте. Роман вычел из Мишиного числа число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получил число 80982. А Настя сложила первые две цифры Мишиного числа и из результата вычла сумму последних двух цифр его числа. Какое число получилось у Насти?
Ответ: 9
7. Фестиваль
На фестиваль пришёл 1501 гость. Их рассадили за столики, за каждым из которых было или ровно 4 места, или ровно 7 мест, причём свободных мест не осталось.
Какое наименьшее количество столиков могло быть занято?
Какое наибольшее количество столиков могло быть занято?
Ответ:
Наименьшее: 217
Наибольшее: 373
8. Хитрая цифра
Сергей задумал двузначное число. Затем между цифрами этого числа он вписал цифру 1 и получил трёхзначное число, которое оказалось в n раз больше исходного, причём n – некоторое натуральное число, которое больше 3 и меньше 12.
Чему могло быть равно n? Выберите все возможные верные варианты для n от 4 до 11. Найдите все возможные двузначные числа, которые мог задумать Сергей (для всех найденных значений n).
Ответ:
n: 9, 11
Числа: 1035