1 Ответ
1. В каждом столбце таблицы 1010 записаны сверху вниз в порядке возрастания степени двойки: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. Как пройти из какой-либо клетки верхней строки таблицы в какую-либо клетку нижней, сдвигаясь на каждом ходу на клетку вправо или на клетку вниз, чтобы сумма чисел во всех пройденных клетках равнялась 2026? Достаточно найти один пример.
Ответ: 2026 = 2+8+32+64+128+256+512+1024.
2. Числа a, b, c таковы, что a 2+b 2 > (a+b) 2 и b 2+c 2 > (b+c) 2. Что больше: a 4+c 4 или (a+c) 4?
Ответ: (a+c)4
3. В треугольнике ABC точка K — середина биссектрисы BL. Известно, что AK = AL и AK ⊥ BC. Найдите величину угла ABC.
Ответ: 60 градусов
4. В электронную таблицу, где две строки и n столбцов, в произвольном порядке записаны все натуральные числа от 1 до 2n (в каждой клетке — одно число). В полдень каждого дня компьютер случайным образом выбирает столбец, где число из верхней строки больше числа из нижней, и меняет эти два числа местами, а затем случайным образом переставляет числа в верхней строке. В момент, когда в каждом столбце верхнее число оказывается меньше нижнего, процесс заканчивается. Докажите, что такой процесс не может происходить дольше, чем n 2 дней.
Решение:
Заметим, что разность суммы чисел в верхней строке таблицы и суммы чисел в ее нижней строке не больше, чем (2n+(2n–1)+…+(n+1))–(n+(n–1)+…+1) = n2 и не меньше, чем –n2. Каждая перемена компьютером мест двух чисел в столбце уменьшает эту разность минимум на 2. Поэтому таких перемен не может произойти больше, чем (n2–(–n2))/2 = n2.
5. Существует ли такое натуральное число n, что для каких-то трёх его делителей a, b, c, больших, чем 1, произведение (a–1)(b–1)(c–1) делится на n 2?
Ответ: Не существует.
6. Как разрезать квадрат на 12 треугольников, площади которых относятся как 1 : 2 : 3 :…: 11 : 12?
Решение:
Заметим, что числа от 1 до 12 можно сгруппировать в 6 пар, сумма чисел в каждой из которых равна 13: 1, 12; 2, 11; 3, 10; 4, 9; 5, 8; 6, 7. Возьмем квадрат ABCD со стороной 133 = 39 и разделим его сторону AB на отрезки длиной 1, 12, 2, 11, 3, 10, а сторону AD — на отрезки длиной 4, 9, 5, 8, 6, 7. Соединив вершину C с вершиной A и точками деления на сторонах AB и AD, получим искомые треугольники: их высоты, опущенные из вершины C, равны стороне квадрата, поэтому их площади относятся как длины отрезков, на которые разделены отрезки AB и AD.
7. У Васи есть банки с синей, жёлтой и зелёной красками. Он хочет покрасить каждое натуральное число от 100 до 1 000 000 включительно одной из этих красок так, чтобы каждые три попарно взаимно простых числа были одного цвета. Докажите, что Васе придётся покрасить все числа одним цветом. Напомним, что три числа попарно взаимно просты, если у каждых двух из них наибольший общий делитель равен 1.
Решение:
Будем для краткости называть числа, большие 100 и меньшие 1000000, хорошими. Возьмем хорошие простые числа 101, 103 и 107. Так как они попарно взаимно просты, то должны быть покрашены в один цвет (пусть синий). Заменяя одно из них на всевозможные другие хорошие простые числа, убеждаемся, что все хорошие простые числа покрашены в синий цвет. Возьмем произвольное
хорошее число n. Оно не делится хотя бы на одно из чисел 101, 103 и 107 (обозначим его через k), так как 101, 103, 107 > 1000000 и, по той же причине, хотя бы на одно из трех следующих за ними хороших простых чисел (обозначим его через m). Тогда числа n, k, m попарно взаимно просты, и так как числа k и m синие, число n тоже должно быть синим.
8. На рисунке изображён автодром; точки — это перекрёстки, отрезки — дороги. Каждый отрезок между соседними точками машина проезжает ровно за минуту. Приехав на перекрёсток, машина немедленно уезжает с него по любой дороге, кроме той, по которой она приехала. Сначала несколько машин расположены на перекрёстках, затем они одновременно начинают двигаться по указанным правилам. При каком наибольшем количестве машин может случиться, что они смогут неограниченно долго ездить, никогда не встречаясь (ни на перекрёстках, ни на дорогах)?
Ответ: 36 машин.
9. Для каких натуральных n найдутся такие целые числа a, b, c, d, большие, чем 102026, что a 2+b 2 = c 2+d 2 и a+b–c–d = n?
Ответ: Для всех четных n, и только для них.
10. Дан треугольник ABC, в котором ∠B = 60°. На продолжении стороны AB за точку B отмечена точка D, а на стороне BC — точка E, причем AD = CE. На продолжении отрезка AE за точку E нашлась такая точка F, что AC = CF и DE = EF. Найдите величины углов треугольника DEF (укажите все возможные варианты).
Ответ: Все углы по 60 градусов.