1 Ответ
1. В остро-угольном треугольнике один из углов равен 75∘. Найдите тупой угол между высотами, проведёнными из двух других углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
ответ = 105
2. Даны векторы a(13; 8) иb(−1; 8). Найдите косинус угла между векторами a −b иa+b.
ответ = 0,6
3. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 10, а сторона основания равна 6 √ 2. Найдите объём пирамиды.
ответ = 192
4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений — по одному от каждой страны. В первый день 36 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?
ответ = 0,2
5. Телефон передает SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
ответ = 0,64
6. Найдите корень уравнения: 9/7х-15=4/2х+3
ответ = 8,7
7. Найдите значение выражения: log3 16·log2 9.
ответ = 8
8. На рисунке изображен график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), определенной на интервале (−4; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции 𝑓(𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 2 − 𝑥.
ответ = 4
9. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением 𝑝1 · 𝑉 1,4 1 = 𝑝2 · 𝑉 1,4 2 , где 𝑝1 и 𝑝2 — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, 𝑉1 и 𝑉2 — объем газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объем газа равен 0,8 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало равно 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
ответ = 0,025 л
10. Из городов 𝐴 и 𝐵 навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в 𝐵 на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в 𝐴, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из 𝐵 в 𝐴 велосипедист?
ответ = 4 ч
11. На чертеже изображен график функции f(x) = k/x+b .
Найдите f(−10).
ответ = -0,25
12. Найдите точку минимума функции f(x) = х2-4х+6
ответ = 2
13. а)Решите уравнение: 4cos4 x −cos2x−1 = 0.
ответ = х=π/2+πn
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (−3π; -−3π/2)
ответ x=π/4+π/2*n,nэz
14. В правильной треугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶 точка 𝑀 делит сторону 𝐴𝐵, в отношении 1 : 3, считая от вершины 𝐴, точка 𝐾 — делит сторону 𝑆𝐶, в отношении 1 : 3, считая от вершины 𝑆. Через точки 𝑀 и 𝐾 параллельно 𝐵𝐶 проведена плоскость 𝛼. а) Докажите, что плоскость 𝛼 параллельна ребру 𝐴𝑆. б) Найдите угол между плоскостями 𝛼 и 𝑆𝐵𝐶, если 𝐴𝑆 = 5, 𝐴𝐵 = 4.
ответ = 4 =
15. Решите неравенство: log13(18 −9x)<log13 (︀x2 −6x+8)︀+log13 (x+2).
ответ = (-2;1)U(1;2)
16. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:
• каждый январь долг возрастает на % по сравнению с концом предыдущего года
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
• в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите г, если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.
ответ = 25
17. На катетах 𝐴𝐶 и 𝐵𝐶 прямоугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 как на диаметрах построены окружности, которые второй раз пересекаются в точке 𝑀. На меньшей дуге 𝑀𝐵 взята точка 𝑄. Прямая 𝐶𝑄 второй раз пересекает окружность с диаметром 𝐴𝐶 в точке 𝑃. а) Докажите, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝑃 𝑄𝑀 подобны. б) Найдите площадь треугольника 𝑃 𝑄𝑀, если 𝐴𝑀 = 1, 𝑀𝐵 = 3 и точка 𝑄 — середина дуги 𝑀𝐵.
ответ = б) корень3/2
18. Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение:
a2 −4×2 +8|x|−4 = 0
ответ = (-∞,-2)U{0}U(2;+∞)
19. У Пети есть монеты достоинством 1, 2, 5 и 10 рублей (монет каждого достоинства по 100 штук). Он хочет купить пирожное в магазине без сдачи, и заранее знает только то, что оно стоит целое число рублей.
а) Может ли Петя выбрать дома 14 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 80 рублей?
ответ = да, может
б) Может ли Петя выбрать дома 5 монет так, чтобы купить пирожное стоимостью не более 25 рублей?
ответ = нет, не может
в) Какое наименьшее количество монет может взять Петя из дома, если пирожное стоит не более 80 рублей?
ответ = 11