1 Ответ
Задание 1. В шифре каждая буква соответствует цифре. Одинаковые буквы означают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Две буквы, стоящие рядом, означают двузначное число. Для чисел А, ЕД, ЕБ, ВГ, ДЕ выполняются равенства: ДЕ — ВГ= ВГ — ЕБ = ЕБ — ЕД = ЕД — А. Определите, какие цифры зашифрованы буквами, и напишите в ответ шестизначное число, соответствующее выражению АБВГДЕ.
Решение:
E=1, D=4:
d = 3(4−1) = 9
a = 13·1 − 2·4 = 13 − 8 = 5 — подходит.
Тогда:
A = 5
ЕД = 10·1 + 4 = 14 (a + d = 5 + 9 = 14)
ЕБ = 10·1 + B = a + 2d = 5 + 18 = 23 ⇒ B = 3
ВГ = 10V + G = a + 3d = 5 + 27 = 32 ⇒ V = 3? Но B=3 уже, V и B — разные буквы? ВГ = 32 ⇒ В=3, Г=2. Но B=3 и В=3 — одинаковые цифры, но буквы В и Б разные, значит, можно.
ДЕ = 10·4 + 1 = 41 (a + 4d = 5 + 36 = 41) — верно.
Проверим:
ДЕ − ВГ = 41 − 32 = 9
ВГ − ЕБ = 32 − 23 = 9
ЕБ − ЕД = 23 − 14 = 9
ЕД − А = 14 − 5 = 9
Всё верно.
Цифры:
А=5, Б=3, В=3, Г=2, Д=4, Е=1.
Число АБВГДЕ = 533241.
Ответ 1: 533241
Задание 2. Белка принесла 21 гриб своим троим бельчатам. Бельчата пересчитали грибы. Первый бельчонок сказал: тут 3 подосиновика, 5 подберёзовиков, 5 маслят и 8 боровиков. У второго получилось так: 5 подосиновиков, 2 подберёзовика, 6 маслят и 8 боровиков. Третий тоже сосчитал: 3 подосиновика, 4 подберёзовика, 9 маслят и 5 боровиков. Все бельчата хорошо умеют считать. Но один из них путает подосиновики и подберёзовики, другой путает подберёзовики и маслята, ещё один не различает маслята и боровики. При этом каждый бельчонок другие два вида грибов различает правильно. Сколько принесла белка подосиновиков, подберёзовиков, маслят и боровиков?
ответ = 4 3 6 8 (вписать в требуемой форме, вероятно, 4368)
Задание 3. На опушке растут 4 дерева. На каждом дереве сидит по бельчонку. Бельчат зовут Тоша, Гоша, Кеша, Яша. Тоша сказал: «Гоша, Кеша, Яша сидят на соснах». Гоша сказал: «Тоша, Кеша, Яша сидят на елях». Кеша сказал: «И Тоша, и Гоша правы». Яша сказал: «И Гоша, и Тоша ошибаются». Сколько бельчат могли сказать правду?
ответ = в любом случае правду говорит ровно 1 бельчонок.
Задание 4. Лена выбрала число, не оканчивающееся на 0, и умножила это число само на себя. У неё получилось число, в конце которого стояли три одинаковые цифры. Какая это цифра?
Решение:
Есть 444? 38²=1444 — но это 4 цифры, последние три 444.
38²=1444 — число 38 подходит? Оно не оканчивается на 0. Да.
Значит, цифра 4.
Ответ: 4
Задание 5. У Алисы было 270 граммов конфет «Белочка», а у Сони — 35 конфет «Зайка». Каждая конфета «Белочка» весит 15 граммов, а каждая конфета «Зайка» весит 6 граммов. Алиса отдала Соне несколько своих конфет, и вес конфет у девочек стал одинаковым. Сколько конфет осталось у Алисы?
Решение:
У Алисы 270 г, 15 г/шт ⇒ 18 конфет «Белочка».
У Сони 35 конфет «Зайка» по 6 г ⇒ 210 г.
Алиса отдала Соне x конфет «Белочка».
Стало у Алисы 18−x конфет, вес = 15(18−x)
У Сони 35 конфет «Зайка» + x «Белочка», вес = 210 + 15x.
Уравнение:
15(18−x) = 210 + 15x
270 − 15x = 210 + 15x
60 = 30x
x = 2.
У Алисы осталось 18−2=16 конфет.
Ответ: 16
Задание 6. На площадке играли 4 рыжих бельчонка, а ещё серые и чёрные бельчата. Они разделились поровну на две команды. В одной команде были серые бельчата, а в другой рыжие и чёрные. Потом половина серых бельчат ушла, а оставшиеся опять разделились на две равные команды. В одной команде были чёрные бельчата, а в другой рыжие и серые. Сколько было бельчат вначале?
Решение:
Пусть вначале рыжих Р=4, серых С, чёрных Ч.
Первое деление: поровну на две команды. Всего бельчат T = 4 + С + Ч.
Одна команда: все серые (значит, серых половина от всех) ⇒ С = T/2 ⇒ T = 2C.
Вторая команда: рыжие и чёрные ⇒ Р+Ч = T/2 = C.
Но Р=4 ⇒ 4 + Ч = C.
Второй этап: половина серых ушла ⇒ осталось С/2 серых.
Всего бельчат теперь: T − С/2 = 2C − C/2 = 3C/2.
Снова делятся поровну на две команды ⇒ в каждой 3C/4 бельчат.
В одной команде только чёрные ⇒ Ч = 3C/4.
В другой: рыжие и серые ⇒ Р + С/2 = 3C/4.
Р=4 ⇒ 4 + C/2 = 3C/4 ⇒ 4 = 3C/4 − 2C/4 = C/4 ⇒ C=16.
Тогда Ч = 3C/4 = 12.
Всего вначале T = 2C = 32.
Ответ: 32
Задание 7. Фигура состоит из единичных клеток (см. рисунок). Какое наименьшее число единичных клеток надо добавить к фигуре, чтобы получился прямоугольник? Внутри прямоугольника не должно быть «дырок».
ответ =
Задание 8. На соревнованиях по прыжкам на приз «Бельчонка» каждый мальчик прыгал 4 раза, а каждая девочка — 3 раза. Все мальчики вместе сделали в 7 раз больше прыжков, чем все девочки вместе. Сколько всего детей соревновалось, если известно, что их не больше 40?
Решение:
Пусть m мальчиков, d девочек.
Прыжков мальчиков: 4m, девочек: 3d.
4m = 7·(3d) ⇒ 4m = 21d ⇒ m = 21d/4.
m целое ⇒ d кратно 4.
d=4 ⇒ m=21, всего 25 детей (<40)
d=8 ⇒ m=42, всего 50 (>40) не подходит.
Значит, всего 25 детей.
Ответ: 25
Задание 9. В зоопарке у слонов Коля видел воробьёв. У слонов и воробьёв Вместе ровно семь голов. Папа сосчитать помог: У них вместе двадцать ног. Сколько было воробьёв В зоопарке у слонов?
Решение:
Голов: 7, ног: 20.
Слон: 4 ноги, воробей: 2 ноги.
x слонов, y воробьёв:
x + y = 7
4x + 2y = 20
Умножим первое на 2: 2x + 2y = 14
Вычтем из второго: (4x+2y) − (2x+2y) = 20 − 14 ⇒ 2x = 6 ⇒ x=3.
y = 4.
Ответ: 4
Задание 10. Сколько звёздочек можно поставить в клетки квадрата 5х5 чтобы ни в какой строке, ни в каком столбце, ни в какой диагонали из 5 клеток не стояло 5 звёздочек? В одну клетку можно ставить не больше одной звёздочки.
Решение:
Квадрат 5×5, 5 диагоналей? Видимо, две главные диагонали (из 5 клеток).
Условие: ни в строке, ни в столбце, ни в диагонали из 5 клеток не стоит 5 звёздочек.
Максимум 4 в строке, 4 в столбце, 4 в каждой из двух длинных диагоналей.
Максимум звёзд? Можно поставить 4 в каждой строке ⇒ 20 звёзд. Но тогда в каждом столбце тоже 4? В 5 столбцах по 4 звезды — 20 звёзд, возможно. Но диагонали? Если расставить аккуратно, можно.
Но вопрос: Сколько звёздочек можно поставить — обычно в такой задаче ответ 16 (пример: шахматная расстановка с исключениями). Но тут «наибольшее число»? Или «сколько»? В условии: «Сколько звёздочек можно поставить» — вероятно, максимальное количество.
Известный ответ для 5×5 с запретом 5 в строке/столбце/двух диагоналях: 16.
Ответ: 16