1 Ответ
10 класс:
Задание 1. Можно ли расставить каждое из чисел 1, 2, 3, …, 20 по одному разу в вершинах и серединах рёбер куба так, чтобы каждое число, стоящее в середине ребра, равнялось полусумме чисел на концах этого ребра?
Ответ:
Задание 2. Биссектрисы AD, BE и CF треугольника ABC пересекаются в точке I. Докажите, что если треугольники BIF и BID имеют равные площади, то треугольник ABC равнобедренный.
Ответ:
Задание 3. Про 20 последовательных натуральных чисел N+1,N+2,…,N+20 известно, что сумма 11 наименьших из них делится на 9, а сумма 9 наибольших из них делится на 11. При каком наименьшем N такое возможно?
Ответ:
Задание 4. Дан треугольник со сторонами a,a,b, периметром P и площадью S. Известно, что b и P — целые, а числа P и S связаны равенством P=S^2. Найдите все возможные пары (a,b).
Ответ:
Задание 5. Внутри правильного треугольника со стороной 5 расположены 76 точек. Докажите, что можно так выбрать круг радиуса 1/√3, что он будет накрывать не менее 4 из этих точек.
Ответ:
11 класс:
Задание 1. Каждое из n последовательных натуральных чисел не содержит 0 и не делится ни на одну из своих цифр. При каком наибольшем n это возможно?
Ответ:
Задание 2. Найдите минимальное значение выражения (x^2-4x+3)(x^2+4x+3).
Ответ:
Задание 3. Имеется неограниченное число фишек шести цветов. Какое наименьшее число фишек нужно расположить в ряд так, чтобы для любых двух различных цветов в ряду нашлись две соседние фишки этих цветов?
Ответ:
Задание 5. Пусть H — точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, D — середина стороны AC. Прямая, проходящая через H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны AB и BC в точках E и F. Докажите, что HE=HF.
Ответ: