1 Ответ
7 класс:
Задание 1. Шеренга десятиклассников и шеренга семиклассников построены так, что перед каждым десятиклассником стоит семиклассник ниже его ростом. Докажите, что если в каждой шеренге построить школьников по росту, то и в этом случае перед каждым десятиклассником стоит семиклассник ниже его ростом.
Ответ:
Задание 2. Квадратная доска размером 6×6 покрыта 18 косточками домино (каждая косточка покрывает две клетки). Докажите, что независимо от способа расстановки косточек домино всегда можно разрезать доску по горизонтальной или по вертикальной прямой, не повредив ни одной косточки домино.
Ответ:
Задание 3. Найдите два числа, наименьшее общее кратное которых равно 975,а сумма частных от деления на каждого из них на их наибольший общий делитель равна 18.
Ответ:
Задание 4. Решите ребус: forty+ten+ten=sixty Одинаковые буквы заменяют одинаковые цифры, различные буквы заменяют различные цифры.
Ответ:
8 класс:
Задание 1. Найдите двузначное число, куб суммы цифр которого равен его квадрату.
Ответ:
Задание 2. Существует ли такое трёхзначное число что сумма является точным квадратом?
Ответ:
Задание 3. В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров, каждая команда сыграла с 8 различными командами. Докажите, что найдутся три команды, пока не сыгравшие между собой ни одного матча.
Ответ:
Задание 4. По кругу выстроены 20 чисел, причем, сумма любых трёх стоящих подряд равна нулю. Найдите эти числа.
Ответ:
Задание 5. Вычислите углы треугольника, в котором медиана и высота проведенные из одной вершины, делят угол на три равные части.
Ответ:
9 класс:
Задание 1. Найдите наименьшее четырёхзначное число такое, что если в середину этого числа записать любую ненулевую цифру, то полученное пятизначное число будет делиться на эту цифру.
Ответ:
Задание 2. Квадратный трёхчлен p(x)=ax2+bx+c (a b c — целые числа, c — нечётное число) имеет целые корни. Может ли быть нечётным числом?
Ответ:
Задание 3. На столе лежит 2025 монет. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За ход первый может взять со стола любое нечётное число монет от 1 до 99, второй — любое чётное число монет от 2 до 100. Выигрывает тот, кто сделал последний ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ:
Задание 4. Точка D — середина стороны AC треугольника ABC, а отрезки DE и DF — биссектрисы треугольников ABD и CBD. Отрезки BD и EF пересекаются в точке M. Докажите, что. DM=1/2 EF
Ответ:
Задание 5. Сумма четырёх натуральных чисел равна 111111. Какое наименьшее значение может принимать их НОК?.
Ответ: