Зависимость количества Q в шт. при условии 0 < Q — 15000 купленного у фирмы товара от цены Р в руб. за шт.
выражается формулой Q = 15000 — Р. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 1000000 рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей при условии 0 < t < 10000 с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет PQ — 3000Q — 1000000 — tQ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей. Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?
1 Ответ
Решение:
Обозначим прибыль фирмы как П. Тогда:
П = PQ — 3000Q — 1000000 — tQ
Выразим цену P через количество Q:
P = 15000 — Q
Подставим P в формулу прибыли:
П = (15000 — Q)Q — 3000Q — 1000000 — tQ
П = 15000Q — Q^2 — 3000Q — 1000000 — tQ
П = -Q^2 + (12000 — t)Q — 1000000
Чтобы найти максимальную прибыль, возьмем производную от П по Q и приравняем к нулю:
П’ = -2Q + (12000 — t) = 0
Q = (12000 — t) / 2
Общая сумма налогов, собранных государством, равна T = tQ. Подставим выражение для Q:
T = t * (12000 — t) / 2
T = (12000t — t^2) / 2
T = 6000t — (1/2)t^2
Чтобы найти максимальную сумму налогов, возьмем производную от T по t и приравняем к нулю:
T’ = 6000 — t = 0
t = 6000
Ответ: общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной при t = 6000.