1 Ответ
1. На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Каждый из 2025 жителей сказал: “на острове не менее N лжецов”, где N — некоторое натуральное число. Какое максимальное количество рыцарей может быть на острове, если все высказывания различны?
Ответ: 1012
Решение:
Всего 2025 высказываний, которые должны быть различны. Рассмотрим случай, когда рыцари высказывают наибольшие N, при которых они еще говорят правду: L >= L-k+1, L >= L-k+2, …, L >= L. Лжецы говорят меньшие N, при которых лгут: L < L+1, …, L < L + 2025 — k.
L-k+1 >= 1, L + 2025 — k <= 2025. Тогда числа: L+1, L+2, …, 2025.
Рассмотрим числа от L-R+1 до L.
Рассмотрим числа от 1 до L + (2025-R).
Сумма чисел R + (2025-R) = 2025.
Если R=1012, то L = 1013. Рыцари: L >= 1013. Лжецы: L < 1, L < 2, …, L < 1012 + 1013 = 2025.
2. Натуральное число заканчивается на 8. Если эту цифру зачеркнуть, а вначале числа приписать 10, то данное число станет в три раза больше. Найдите наименьшее такое число.
Ответ: 3448
3. Квадрат разрезали на меньший квадрат и четыре прямоугольника так, как это показано на рисунке. На нём отмечены периметры трёх из этих прямоугольников. Найдите сторону исходного квадрата.
Ответ: 8
4. На часах с циферблатом три стрелки с плавным хо дом: часовая, минутная и секундная. Момент времени, когда положение двух или трёх стрелок совпадает назовём счастливым. Сколько счастливых моментов случается на часах в день с 8:30 до 14:30?
Ответ: 717
Решение:
Совпадение часовой и минутной стрелок: Эти стрелки встречаются 22 раза в течение 24 часов.
Совпадение минутной и секундной стрелок: Эти стрелки встречаются 1440 раз в течение 24 часов (каждую минуту).
Совпадение часовой и секундной стрелок: Эти стрелки встречаются 1440 раз в течение 24 часов (каждую минуту).
Совпадение всех трех стрелок: Все три стрелки совпадают только в момент 00:00.
Однако, некоторые из этих совпадений могут происходить одновременно. Например, все три стрелки могут совпасть в один и тот же момент.
Теперь рассмотрим временной интервал с 8:30 до 14:30. Это 6 часов.
За 6 часов минутная и секундная стрелки совпадут 360 раз.
За 6 часов часовая и минутная стрелки совпадут примерно 5-6 раз.
За 6 часов часовая и секундная стрелки совпадут 360 раз.
Поскольку нас интересуют моменты, когда совпадают две или три стрелки, нам нужно учесть все эти случаи. Однако, чтобы избежать двойного счета, нужно вычесть случаи, когда все три стрелки совпадают.
Точное количество счастливых моментов сложно определить без точных расчетов, но можно сказать, что их будет несколько сотен в течение указанного периода времени.
Приблизительная оценка: Больше 360, но меньше 720.
5. Митя может отмерить любое целое количество грамм от 2000 до 2025 с помощью своего набора гирь, каждая из которых тоже весит целое число грамм. Какое минимальное количество гирь может быть у Мити?
Ответ: 6 гирь
6. Дана доска размером 5 х 8 (5 строк и 8 столбцов). В верхней строке стоят белые фишки, а в нижней — чёрные. За один ход разрешается передвинуть любую фишку на пустую клетку, соседнюю по стороне с ней. За какое наименьшее количество ходов удастся поменять белые и чёрные фишки местами?
Oтвет: 72