1 Ответ
1. Сколько решений имеет ребус ТИГР = АБА + КА?
Ответ: 8
2. Сколько существует трёхзначных чисел abc, для которых выполняется равенство 1/a + 1/b + 1/c = 1?
Ответ: 10
3. Сколько существует упорядоченных пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное равно 1000000? Если пары упорядочены, то пары (a, b) и (b,a) различны при a≠b
Ответ: 169
4. Сколько существует несократимых правильных дробей, у которых произведение числителя и знаменателя равно 1 * 2 * 3 * … * 13?
Ответ: 32
5. Рассмотрим 18-значные числа, в которых каждая ненулевая цифра (от 1 до 9) встречается ровно два раза. Требуется найти количество таких чисел, которые дают максимально возможную сумму всех пятнадцати четырёхзначных чисел, составленных из последовательных четвёрок цифр.
Ответ: 18!/(2^9)
6. Сумма двух чисел ‐ трехзначное число, которое оканчивается на 35. Одно из чисел оканчивается на ноль, но если стереть этот ноль, то мы получим другое число. Найдите меньшее из этих чисел.
Ответ: 85
7. Найдите наименьшее натуральное число 𝑛 такое, что 10n является точным квадратом, а 12n – точным кубом.
Ответ: 2250
8. Если в клетчатом квадрате 4 × 4 закрасить «крест» из клеток, соединяющих вершины, закрашены будут 8 клеток. Сколько клеток надо закрасить, чтобы такой же «крест» получился в квадрате 15 × 15?
Ответ: 29
9. Найдите количество точек пересечения 8 прямых, если среди них есть ровно три параллельные и ровно четыре из этих прямых пересекаются в одной точке (других пересечений и параллельностей нет).
Ответ: 20
10. Какое наибольшее значение может принимать НОД чисел 3n + 2 и 10n + 23?
Ответ: 49
11. Телефонная компания «Ндекс» ввела уникальное предложение для детей, позволяющее каждому ребенку выбрать 2025 человек, которым он сможет писать СМС-ки бесплатно. Какое наибольшее количество детей может подключиться к этой компании так, чтобы из любых двух детей один мог бесплатно писать СМС-ки другому?
Ответ: 4051
12. Алёна заготовила для будущих математических конкурсов очень много карточек с задачами и разложила их в конвертики по 8, 12 и 15 штук. Для Математического Праздника ей потребовалось ровно N задач. Оказалось, что как бы Алёна ни выбирала конвертики, она не может, не открывая их, взять ровно N задач. Найдите наибольшее возможное значение N.
Ответ: 49
13. В корзине лежат 60 шаров пяти различных цветов: по 15 белого, синего и красного, а оставшиеся 15 — желтые и зеленые (причем мы не знаем, сколько из них каких). Какое количество шариков необходимо достать из корзины, чтобы среди них гарантированно нашлось 10 одноцветных шариков?
Ответ: 43
14. Число 100 представили в виде суммы нескольких натуральных слагаемых. Оказалось, что нельзя выбрать одно или несколько слагаемых, дающих в сумме 4. Какое наибольшее количество слагаемых могло быть?
Ответ: 33
15. В равнобедренном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐵 отмечена такая точка 𝑂, что 𝐵𝑂 = 𝐶𝑂. Известно, что ∠𝐴𝐶𝑂 = 𝛼, ∠𝐵𝐶𝑂 = 2𝛼 и ∠𝐴𝐵𝑂 = 4𝛼. Найдите угол 𝐴𝐶𝐵.
Ответ: 36