1 Ответ
5-6 класс
1. Вася выписал на асфальте произведение 100000 натуральных чисел и обнаружил, что их произведение получилось равным 100000. Найдите наибольшее возможное значение суммы этих чисел. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 199999
2. Вычеркните из числа 2024…2024 400 цифр так, чтобы полученное число было минимально. В ответ запишите сумму цифр полученного числа. Число может начинаться с 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 2932
3. На полу выложили фигуру из кубиков (в которой кубики стыкуются гранями). Вид сверху, вид спереди и вид сбоку на получившуюся фигуру показаны на рисунке. После постройки фигуру склеили и окунули в банку с краской, а затем разделили на отдельные кубики. Какое наибольшее число не закрашенных граней могло получиться? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 27
4. Вокруг фонтана Дружбы народов из одной точки в противоположные стороны вышли мама и папа. Одновременно с ними из этой же точки выехала дочка на самокате и без изменения направления катается на нем по кругу вокруг фонтана до тех пор, пока мама с папой не встретятся. Сколько целых кругов проедет девочка, если ее скорость 0.5 круга в минуту, скорость мамы 1 круг в час и скорость папы 2 круга в час? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартым образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 10
5. В квартире составителя задач этой олимпиады есть цифровые часы, показывающие время в формате ЧЧ:ММ:CC на трёх экранчиках (один под часы, один под минуты и один под секунды). Часы идут от 00 до 23. Теперь представим, что эти экранчики при сборке перепутали местами — и показания идут так: ММ:СС:ЧЧ. Сколько секунд в сутки такие часы покажут время правильно? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 24
6. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. 0.08
7-8 класс
Задание 1. Найдите произведение всех целых n, при которых n2+2n−120n – простое число. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 10395
Задание 2. Вокруг фонтана Дружбы народов из одной точки в противоположные стороны вышли мама и папа. Одновременно с ними из этой же точки выехала дочка на самокате и без изменения направления катается на нем по кругу вокруг фонтана до тех пор, пока мама с папой не встретятся. Сколько целых кругов проедет девочка, если ее скорость 1 круг в минуту, скорость мамы 0,5 круга в час и скорость папы 1 круг в час? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 40
Задание 3. На полу выложили фигуру из кубиков (в которой кубики стыкуются гранями). Вид сверху, вид спереди и вид сбоку на получившуюся фигуру показаны на рисунке. После постройки фигуру склеили и окунули в банку с краской, а затем разделили на отдельные кубики. Какое наибольшее число незакрашенных граней могло получиться? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 27
Задание 4. В квартире составителя задач этой олимпиады есть цифровые часы, показывающие время в формате ЧЧ:ММ:CC на трёх экранчиках (один под часы, один под минуты и один под секунды). Часы идут от 00 до 23. Теперь представим, что эти экранчики при сборке перепутали местами — и показания идут так: ММ:ЧЧ:CC. Сколько секунд в сутки такие часы покажут время правильно?Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 24
Задание 5. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами.
Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 0.12
Задание 6. Найдите все натуральные n<26, при которых любое x>0, удовлетворяющее {9x} {28x}, удовлетворяет также и {30x}={nx}, где {⋅}- дробная часть числа. Дробной частью a называют следующее число: {a}=a−[a], где [a] – целая часть a, то есть наибольшее целое число, которое меньше или равно a.a. Например, {43}=1/3, {0.5}=0.5, {5}=0. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 15
Задание 7. 40 детей играют в снежки. Каждый набрал в руку по снаряду. По команде ребята одновременно кидают снежок в ближайшего к нему ребенка (в одного из ближайших, если несколько детей находится на одинаковом расстоянии от него. Найти наименьшее число детей, в которые попал хотя бы один снежок. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 14
9 класс
Задание 1. Найдите множество значений функции y=√x2−3x+2−x. В ответе укажите число целых yy из области значений, не превосходящих 100.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 102
Задание 2. Сумма восьми натуральных чисел равна 561. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель? Ответ дайте в виде действитльного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 51
Задание 3. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а потом делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. = 0.75
Задание 4. Найдите десятый член последовательности {an}, если для всех n⩾1 выполняется соотношение an+1=3an−2, и при этом a1=6. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 98416
Задание 5. Улица имеет форму полосы длины 972 м и ширины 9 м. Вдоль каждого края улицы стоят фонари, каждый из которых освещает круг радиуса 41 м вокруг себя. Какое минимальное число фонарей надо расставить, чтобы улица была полностью освещена? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 12
Задание 6. Сколько корней имеет уравнение [−(x−2)2]=2x−4, где через [t] обозначена целая часть числа t (т.е. наибольшее целое число, не превосходящее t)? = 3
Задание 7. Дана окружность с центром O и радиусом 32√3. Проведена хорда AB, которая оказалась гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Диаметр окружности, проходящий через вершину C делится на четыре равных отрезка вершиной C треугольника, центром O окружности и точкой пересечения диаметра с хордой AB. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB. = 27.71
Задание 8. 60 детей играют в снежки. Каждый набрал в руку по снаряду. По команде ребята одновременно кидают снежок в ближайшего к нему ребенка (в одного из ближайших, если несколько детей находится на одинаковом расстоянии от него. Найти наименьшее число детей, в которые попал хотя бы один снежок. = 12
10 класс
Задание 1. Сколько существует целых чисел N, при которых 160000⋅(1.25N+1.25N+1) – целое число? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 8
Задание 2. Улица имеет форму полосы длины 320 м и ширины 8 м. Вдоль каждого края улицы стоят фонари, каждый из которых освещает круг радиуса 17 м вокруг себя. Какое минимальное число фонарей надо расставить, чтобы улица была полностью освещена? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 11
Задание 3. Найти все значения параметра aa, при каждом из которых неравенство выполняется для любых пар чисел (x,y), таких что |x|=|y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра aa, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений a, если значений aa бесконечно много. Если значений aa нет никаких – пишите 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 8096
Задание 4. Через переплетение труб и клапанов течёт вода. Система односторонняя, вода течёт в направлении стрелок. Вода со всех входящих в клапан труб объединяется вместе, а при выходе из клапана делится поровну между всеми исходящими из клапана трубами. Какая часть входящего потока выйдет через верхнюю трубу? Ответ при необходимости округлите до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 0.9
Задание 5. Дана окружность с центром O и радиусом 4√3. Проведена хорда AB, которая оказалась гипотенузой прямоугольного треугольника ABC. Диаметр окружности, проходящий через вершину C делится на четыре равных отрезка вершиной C треугольника, центром O окружности и точкой пересечения диаметра с хордой AB. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 3.46
Задание 6. Найдите ctg|x|, если известно, что (5cosx+7sinx+√2)(√2−√sin|x|)=0. В ответе укажите сумму всех возможных значений ctg|x|, округлённую до тысячных. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до тысячных. Целую и дробную части разделяйте точкой. -2.04
Задание 7. Окружность с центром O на стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точках C и D, касается стороны BCBC и пересекает отрезок AO в точке E, а отрезок BO в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC=5, FB=4 и ∠ACB=∠DFC+90∘. При необходимости округлите ответ до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 3.63
Задание 8. 23 друга катаются на катке в форме правильного 46-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.) Ответ округлить до десятых. = 85184
11 класс
Задание 1. Сколько существует целых чисел N, при которых 48000⋅(2.5N+2.5N+1) – целое число?Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 8
Задание 2. Во дворе стояли два ведёрка: первое в форме параллелепипеда с квадратным дном, высотой 56 см и стороной основания 19 см. Второе — в форме усечённой пирамиды с квадратными основаниями, сторона нижнего основания равна 16 см, сторона верхнего – 32 см. Начался дождь, в результате чего оба ведра наполнились до краев одновременно. Найдите высоту второго ведра. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 12.37
Задание 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство выполняется для любых пар чисел (x,y), таких что |x|=|y|. В ответ записать сумму возможных значений параметра aa, если их конечное число, или сумму длин интервалов возможных значений a, если значений aa бесконечно много. Если значений a нет никаких – пишите 0.Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 96
Задание 4. Найдите tg|x|, если известно, что (5sinx+3cosx+√2)(√11−√3sin|x|)=0. В ответе укажите сумму всех возможных значений tg|x|, округлённую до тысячных. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до тысячных. Целую и дробную части разделяйте точкой. = -0.3
Задание 5. Окружность с центром O на стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точках C и D, касается стороны BC и пересекает отрезок AO в точке E, а отрезок BO в точке F. Найдите площадь треугольника ABC, если BC=5, FB=4 и ∠ACB=∠DFC+90∘. При необходимости округлите ответ до сотых. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 3.63
Задание 6. Пусть функция f(x) имеет конечное количество нулей и удовлетворяет условию f(2x)⋅(x−1)=f(x)⋅(22024x−1),x∈R. Найдите количество нулей функции f(x), лежащих в интервале [120242025,1]Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 2001
Задание 7. Даны два одинаковых шара радиуса 1, касающихся друг друга. К ним добавили еще три одинаковых шара, быть может другого радиуса, касающихся друг друга и первых двух шаров. Какого радиуса должны быть эти шары? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 1.9
Задание 8. 88 друзей катаются на катке в форме правильного 176-угольника. Каждый из них выбрал себе одну пару параллельных сторон катка и катается между ними по прямолинейным траекториям (возможно различным): стартовав от первой стороны, он доезжает до второй, касается заснеженного бортика и едет обратно к первой. И так далее. Через какое-то время оказалось, что суммарно на всех бортиках оказалось 2024 отпечатков рук (включая сделанные в конце, а в начале движения отпечатки не делаются), в углах бортиков отпечатков нет, а все ребята стоят у того бортика, от которого начали движение. Какое максимальное число пересечений траекторий могло получиться? (Самопересечения траекторий не учитываются.)Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. = 338560