В ряд выложено 1000 шаров, каждый из них красного или синего цвета. На каждом шаре написали число, равное сумме количеств красных шаров левее него и синих шаров правее него. Для каждого натурального числа посчитали, на скольких шарах оно написано. Оказалось, что ровно 16 чисел написаны нечётное количество раз. Сколько из этих 1000 шаров могут быть синими?
1 Ответ
Решение:
Пусть
R — красный шар
B — синий шар
R — цепочка из r подряд стоящих красных шаров;
B — цепочка из b подряд стоящих синих шаров;
х — количество синих шаров в исходном ряду из 1000 шаров.
Рассмотрим цепочку из двух шаров BR, которая может быть в любом месте исходного ряда. Пусть на этих шарах написаны числа т и т. Переставим эти два шара местами, то есть получим цепочку RB. На этих шарах будут уже написаны числа m+1 и m+1. Получается, что количество чисел m уменьшилось на 2, а количество чисел m+1 увеличилось на 2. Количество остальных чисел не изменилось. Значит, количество нечётных чисел при транспозиции BR > RB не поменялось.
С помощью конечного числа транспозиций BR+>RB от начального ряда придём к ряду:
RR…RBB…B = R^1000-xB^x
Тогда числа на шарах будут следующие:
x,x+1, x+2,…,999,999,998,997,…,1000 — x.
Для того, чтобы ровно 16 чисел были написаны нечётное количество раз, необходимо и достаточно выполнение равенства:
|x-(1000-x) =16 ⇔ x-500 =±8 ⇔ x ∈ {492,508}.
Ответ: 492 и 508.