1 Ответ
1. Натуральные числа а, b, с (не обязательно различные) таковы, что каждое из них не превосходит 27.
Какое наибольшее значение может принимать выражение
а — b / c²?
Решение:
В данном выражении а — b / c² максимальное значение будет достигнуто, когда «а» будет максимальным, «b» минимальным, и «c²» минимальным.
Так как «а» и «b» не могут превосходить 27 и «c²» должно быть минимальным, значит «а» должно быть равно 27, «b» должно быть равно 1, а «c²» должно быть равно 1, чтобы дробь была максимальной.
Ответ: максимальное значение выражения будет 27 — 1 / 1² = 27.
2. Для получения идеальной фиолетовой краски нужно смешать красный, синий и зелёный красители в определённых пропорциях.
Юный художник Денис немного ошибся и добавил синего и зелёного красителей вдвое больше, чем нужно, а красного добавил столько, сколько надо.
В итоге краски получилось в 1.4 раза больше, чем нужно.
Сколько процентов составляет красный краситель в идеальной фиолетовой краске? = 60%
3. Гриша придумал способ шифровать шестизначные числа, состоящие из всех цифр от 1 до 6. Он придумал правило: для каждой цифры числа он записывает, сколько цифр справа от неё делятся на неё, а затем убирает само число.
Например, если бы у Гриши было число 123456, то он бы его зашифровал как 521000.
Какое число было зашифровано с помощью последовательности цифр 042010? = Ответ: 512436
4. В каждой клетке таблицы, состоящей из 7 строк и 18 столбцов, стоит крестик или нолик. Известно, что в каждой строке есть хотя бы 5 ноликов, а в каждом столбце есть хотя бы 2 нолика. Какое наибольшее количество крестиков может быть в таблице?
Решение:
5*4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 3 = 36
18*7 — 36 = 90 крестиков
5. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВР и CQ. Известно, что угол СBР = 2 АBР и угол ACQ = углу BCQ + 14°. Сколько градусов составляет угол ВАС?
Решение:
По условию задачи имеем, что угол CBP = 2ABP, поскольку высота BP делит треугольник ABC на два треугольника ABP и CBP, то из этого следует, что угол ABP = угол BCP.
Значит угол СBP = 2 * угол BCP => угол СBP = угол BCP + угол BCP = угол BCP + угол ABP = угол ABC.
В то же время, угол ACQ = угол BCQ + 14°, а угол BCQ = угол BCP (складывается из углов ABP и BCP), заменим угол BCQ на угол BCP и получаем, что угол ACQ = угол BCP + 69° = угол ABC + 69°.
Ответ: угол ВАС = угол ACQ — угол ABC = 69°.
6. По кругу стоят 100 детей, каждый из них одет в красную или синюю кофту.
Каждый из них заявил: «Хотя бы один из двоих моих соседей — в кофте того же цвета, что и у меня». Оказалось, что 55 детей сказали правду, а 45 — соврали.
Какое наибольшее количество детей в красных кофтах могло быть?
Решение:
Предположим, что существует группа из двух детей в красных кофтах, стоящих вместе. Очевидно, что каждый из них говорит правду. Значит, 45 детей, которые лгали, все должны быть одеты в синие кофты и не могут стоять рядом с другими детьми в красных кофтах. Поэтому максимальное количество детей в красных кофтах — это 55 + 2 (минимальная группа детей в красных кофтах, говорящих правду). То есть максимум 57 детей могут быть в красных кофтах.
7. Дан треугольник АВС с тупым углом при вершине С.
На стороне АС нашлась точка Р такая, что угол CPB = 22°.
На отрезке BР нашлась точка Q такая, что BQ = 2PC и QC перпендикулярен BC.
Сколько градусов составляет угол АСВ? = 57 градусов
8. Дима записывает в тетрадку в произвольном порядке натуральные числа от 2 до 42 включительно, каждое по разу. Первое число он записывает синей ручкой.
Для каждого из последующих чисел Дима пользуется следующим правилом: если число, которое он собирается написать, является делителем хотя бы одного из ранее выписанных чисел или делится хотя бы на одно из них, то он записывает его красной ручкой, в противном случае синей. Какое наибольшее количество чисел Дима может написать красной ручкой?
Ответ: Дима сможет записать красной ручкой 37 чисел.