1 Ответ
Выберите верные утверждения.
Если увеличить знаменатель положительной дроби, не меняя при этом её числитель, то получившаяся дробь будет меньше исходной.
15% от половины числа равно 20% от четверти этого же числа.
Площадь квадрата всегда больше площади треугольника.
Сумма десяти натуральных чисел может быть меньше 11.
Существуют три различных простых числа, сумма которых меньше 10.
- Если увеличить знаменатель положительной дроби, то она станет меньше. Это утверждение верно.
- 15% от половины числа равно 20% от четверти этого же числа. Это утверждение неверно.
- Площадь квадрата всегда больше площади треугольника. Это утверждение не является верным или неверным, поскольку зависит от конкретных размеров фигур.
- Сумма десяти натуральных чисел не обязательно должна быть больше 11. Например, 1 + 2 + … + 10 = 55, что меньше 11. Поэтому данное утверждение верно.
- Существуют три различных простых числа, сумма которых меньше 10. Это утверждение также верно, например: 2 + 3 + 5 = 10. Ответ: верны утверждения 1, 4 и 5.
У скалолаза есть верёвка длиной 1 км. Каждый метр этой верёвки весит 100 грамм. Скалолаз весит 70 кг. На какое расстояние скалолаз может безопасно опуститься отвесно вниз, если верёвка выдерживает 150 кг?
Примечание. На крепление к скалолазу и к любым поверхностям верёвка не расходуется и имеет одинаковую прочность в любом своём месте.
50 м
70 м
80 м
100 м
200 м
500 м
700 м
7500 м
900 м
1000 м
1100 м
1200 м
Для решения данной задачи необходимо разделить общий вес скалолаза и веревки на разницу между максимально допустимым весом и весом самого скалолаза, так как каждый метр веревки весит 100 грамм, общий вес веревки составит 1000 кг (1 кг * 1000 м).
Общий вес скалолаза и веревки равен 1070 кг (70 кг + 1000 кг). Максимально допустимый вес 150 кг. Разница между максимально допустимым весом и весом скалолаза равна 80 кг (150 кг — 70 кг).
Таким образом, скалолаз может опуститься на расстояние 1316,67 м (1070 кг / 80 кг), что равно примерно 1,3 км.
Ответ: 7500 м.
Учитель написал на шести карточках цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 (на каждой карточке написана одна цифра и каждая цифра встречается). С помощью них составляют три двузначных числа a, b и c, например, a=54, b=26 и c=13 .
Примечание. Карточку с числом 6 нельзя использовать как карточку с числом 9.
а) Какое наименьшее значение может принимать выражения a-b-c? (Для чисел из примера это значение равно 54-26-13=15)
б) Чему в этом случае равно наименьшее возможное значение b?
а) Самое маленькое возможное значение a — b — c равно -6. Это возможно, если a = 12, b = 24, c = 13.
б) Самое маленькое возможное значение b равно 6. Это возможно, если a = 54, b = 6, c = 13 или a = 45, b = 16, c = 23.
Журнал состоит из 51 листа, и каждая из двух сторон листа – это страница. Все страницы журнала занумерованы подряд идущими натуральными числами, начиная с 1. Дима вырвал из этого журнала первые несколько листов так, что количество цифр в нумерации страниц вырванной части оказалось равным количеству цифр в нумерации страниц оставшейся части журнала.
а) Сколько цифр было на всех страницах вырванной части?
б) Сколько листов вырвал Дима?
а) В нумерации страниц любой части журнала используются 6 цифр (так как самое большое число — 99 999, а количество страниц в каждой части не меньше 10). б) Пусть Дима вырвал x листов. Тогда количество страниц в оставшейся части равно 51 — x, а в вырванной — x. Мы знаем, что 51 — x = x. Отсюда x = 25. Ответ: Дима вырвал 25 листов.
На доске написали в ряд 30 единиц. Расставьте между ними 6 знаков «+» так, чтобы все слагаемые были различны, а сумма — наибольшей. Чему равна эта сумма?
Для того чтобы получить наибольшую сумму, нужно выбрать 25 единиц для сложения и 5 единиц для вычитания. Таким образом, сумма будет равна 25.
Пример расстановки знаков “+” и единиц: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1-1-1-1-1-1.
Ответ: 25
Лена и Наташа отправились в магазин канцелярских товаров, но каждая в своем городе. В магазине Лены все товары стоят по 16 рублей, а в Наташином — по 21. Оказалось, что Лена купила на 1 тетрадь больше, чем Наташа, а денег потратила на 9 рублей меньше, чем Наташа. Сколько тетрадей купили Лена и Наташа вместе?
Пусть x — количество тетрадей, которые купила Наташа. Тогда (x+1) — количество тетрадей, которое купила Лена. Составим уравнение:
16(x+1)=21x-9
16x+16=21x-9
5x=25
x=5
Значит, Наташа купила 5 тетрадей, а Лена — 6 тетрадей. Вместе они купили 5+6=11 тетрадей. Ответ: 11 тетрадей
Олимпиада по математике проходит только для учеников 4, 5, 6 ,7 классов. Известно, что на ней ученикам 4, 5, 6 классов предлагается решить вариант, состоящий из семи задач, а ученикам 7 класса – из восьми задач. Составители заданий знают, что задачу для 4 класса можно также использовать для составления варианта 5 класса (но не для других классов), задачу 5 класса – для 4 и 6 (но не для других классов), задачу 6 класса – для 5 и 7 (но не для других классов), задачу 7 класса – для 6 (но не для других классов). При этом не должно совпадать более двух задач в вариантах соседних классов (четвёртого с пятым, пятого с шестым и шестого с седьмым). Какое наименьшее количество задач надо ещё придумать составителям, если они уже придумали одну задачу для пятого класса и одну задачу для седьмого?
Ответ: составителям нужно придумать ещё 2 задачи.
На первом острове 15 городов, а на втором острове 18 городов. Между некоторыми городами есть дороги, при этом любые два города соединены не более чем одной дорогой. Каждая дорога соединяет ровно два различных города. Жители этих двух островов решили построить 280 дорог.
а) Какое наибольшее количество дорог можно построить между городами первого острова? число.
б) Какое наименьшее количество дорог может соединять город на первом острове с городом на втором острове?
а) На первом острове можно построить максимум 15*14/2 = 105 дорог (так как это число представляет собой максимальное число пар, которые можно выбрать из 15 городов).
б) Чтобы найти минимальное количество дорог между островами, нужно найти такое количество дорог, чтобы они вместе с дорогами на первом острове образовывали в сумме 280. Таким образом, минимальное количество связей между островами будет равно 280-105 = 175.
а) 105 б) 175