В натуральном числе A переставили цифры и получили число B, может ли произведение A и B равняться 20 . . . 09?

Решение. Числа A и B дают одинаковые остатки при делении на 3, так как этот остаток совпадает с остатком от деления их суммы цифр на 3 Число 20 . . . 09 при делении на 3 даёт остаток 2, но число A ·B сравнимо по модулю 3 либо с 0 · 0 = 0, либо с 1 · 1 = 1, либо с 2 · 2 = 4 ≡3 1 Противоречие. Критерии. Рассмотрено произведение по модулю 3 (или 9) — 7 баллов; не доказано, что остаток 2 у произведения A ·B быть не может — 4 или 5 баллов; всё остальное — 0 Доказывать, что у числа и его суммы цифр одинаковый остаток, не надо. Доказывать, что остатки умножаются, не надо.