У Карабаса–Барабаса есть большой участок земли в форме выпуклого 12-угольника, в вершинах которого стоят фонари. Карабасу–Барабасу нужно поставить внутри участка некоторое конечное число фонарей, разделить его на треугольные участки с вершинами в фонарях и раздать эти участки актёрам театра. При этом каждый
внутренний фонарь должен освещать не менее шести треугольных участков (фонарь светит недалеко, только на те участки, в вершине которых стоит). Какое максимальное количество треугольных участков может раздать Карабас–Барабас актёрам?
1 Ответ
Участок Карабаса–Барабаса — выпуклый 12-угольник, и каждый угол в вершине этого 12-угольника является концом двух его сторон (которые здесь одновременно являются и двумя сторонами какого-то треугольника). Это заметание оказывается важным, когда мы начинаем размещать дополнительные фонари внутри участка.
Допустим, мы помещаем один внутренний фонарь. Чтобы этот фонарь освещал минимум шесть треугольных участков, нам нужно расположить его так, чтобы он имел минимум шесть соединений с углами 12-угольника. Это означает, что мы делим наш 12-угольник на шесть треугольных участков вокруг фонаря и еще шесть участков с шести сторонами, которые не соединены с внутренним фонарем. Это в общей сложности делает 12 треугольных участков.
Теперь давайте поместим еще один фонарь внутри участка. Этот второй внутренний фонарь должен быть связан не менее, чем с шестью другими вершинами, чтобы освещать минимум шесть треугольных участков. Но так как первый фонарь уже использует двенадцать вершин, остается не так много слотов для второго внутреннего фонаря. Фактически, существуют только шесть вершин, которые в нашем 12-угольнике не были использованы первым фонарем. Таким образом, второй внутренний фонарь может добавить еще 6 треугольных участков, увеличив общее число треугольных участков до 18.
Мы не можем добавить третий внутренний фонарь, потому что нет других свободных вершин для него. Пространство, которое блокировал первый внутренний фонарь, по-прежнему блокируется, и второй внутренний фонарь использует оставшиеся вершины. Так что после этой стадии мы не можем добавить больше внутренних фонарей. Если внутренних фонарей нет, остаются только шесть участков, которые не были освещены фонарями. Добавив их, мы получаем общее количество участков, равное 24. Это максимальное количество треугольных участков, которое может передать Карабас-Барабас актерам.
Ответ: 24