У калькулятора есть кнопка включения и ещё две кнопки — красная и синяя. При включении калькулятор показывает число 10, при нажатии на красную кнопку к числу на экране прибавляется 10, а при нажатии на синюю кнопку число умножается на 10. Мария включает калькулятор, а потом в случайном порядке нажимает красную и синюю кнопки — каждую по 10 раз (все последовательности нажатий равновероятны). Какова вероятность, что получилось число, меньшее 111 111 111 111?
1 Ответ
Обозначим:
— К — количество нажатий на красную кнопку
— С — количество нажатий на синюю кнопку
Так как Мария нажимает каждую кнопку по 10 раз, то K + C = 10.
Теперь рассмотрим ситуацию, когда Мария нажимает на красную кнопку K раз и на синюю C раз. В этом случае число на экране будет равно 10 + 10*K * 10^C.
Нам нужно найти вероятность того, что полученное число будет меньше 111 111 111 111.
Можно заметить, что чтобы число на экране было меньше данного значения, должно выполняться неравенство:
10 + 10*K * 10^C < 111 111 111 111
10*K * 10^C < 111 111 111 101
Так как количество нажатий на каждую кнопку K и C одинаково и равно 10, то имеем:
10*10^10 < 111 111 111 101
Это неравенство выполняется, следовательно, получим число, меньшее 111 111 111 101.
Теперь можем рассмотреть все возможные комбинации нажатий. Всего возможно C(20, 10) = 184 756 комбинаций, так как из 20 нажатий на кнопки нужно выбрать 10 для каждой кнопки.
Итак, вероятность, что получилось число меньшее 111 111 111 111, равна:
P = Вероятность(Количество нажатий на cинюю кнопку = 0) + Вероятность(Количество нажатий на cинюю кнопку = 1) + … + Вероятность(Количество нажатий на cинюю кнопку = 10)
P = C(20, 0) + C(20, 1) + … + C(20, 10)
Используя формулу комбинаторики C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) и данные комбинации, можно вычислить вероятность.
Таким образом, вероятность получить число, меньшее 111 111 111 111, равна:
P = C(20, 0) + C(20, 1) + … + C(20, 10) = 32 760 + 20 780 + … + 1 ≈ 2.081 * 10^12
Ответ: вероятность получить число, меньшее 111 111 111 111, примерно равна 2.081 * 10^12 или 0.002081%.