Действительное число а таково, что уравнение ах² + (а + 10)х — 10 — 2а = 0 имеет два действительных корня, отличающихся в 3 раза. Чему может быть равно а?
1 Ответ
Уравнение имеет два действительных корня, значит дискриминант уравнения должен быть больше 0:
D = (a + 10)^2 + 4a(10 + 2a) > 0
Так как корни отличаются в 3 раза, один из корней должен быть равен 3k, где k — второй корень. Тогда:
3k = -(a + 10) + √D / 2a
k = -((a + 10) — √D) / (6a)
Мы знаем, что a ≠ 0, так как в противном случае уравнение превращается в линейное и имеет только один корень. Таким образом, мы можем поделить обе части на a:
-((a + 10)/a — √D/a) / (6) = 1
Это означает, что левая часть должна быть равна 1/6. Мы можем выразить a через D:
-(a + 10)/(6a) — √D/(6a) = 1/6
-(1 + 10/a)/(6) — √D/(6a) = 1/6 |*6a
-a — 10 — a√D = a
a(1 — √D — 2) = 0
Таким образом, a может принимать значения 0 или 1 — √D — 2.
Но a должно быть действительным числом, поэтому 1 — √D — 2 также должно быть неотрицательным. Если a = 0, то уравнение превращается в линейное, имеющее только один корень, что противоречит условию. Следовательно, a = 1 — √D — 2, и это значение должно быть положительным.
Итак, a может быть только отрицательным числом: a = -(1 — √D — 2).
Ответ: a может быть любым отрицательным числом. = -2