ФВ написал на доске 1. После этого Царен и Дима по очереди стали стирать число на доске и записывать вместо него сумму самого числа и всех его цифр. Может ли на доске появиться число 87654321?

Решение:

Надо в первую очередь найти предыдущее число. которое не может превышать 72. Если при сложении оно повлияют на последние 3,4 разряда, тогда оно равно 8765ABCD.
8+7+6+5=26
8765ABCD+26+A+b+c+d=87654321
BCD+a+b+c+d=4295
4004+202+88+2d=4295 2d=1 = d целое
Ответ: Решения нет